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Ora in conseguenza della precedente relazione si avrà 

 J P2n^(^cos^) _ J(X' + X',„_4 + • • • + r o) (cos ») da' , 



ed è facile vedere che il secondo menabro è nullo pel noto teorema 



Jx'm P» (cos co) da' = 0 , 



se X'm è una funzione sferica di ordine è m differente da n . 



Così resta adunque pienamente dimostrato anche col secondo metodo che 



è l'espressione della densità di uno strato ellissoidico equipotenziale. 



Con considerazioni analoghe alle precedenti si può ora dedurre, per tutti ' 

 i valori di v da 1 fino ad w , la relazione più generale 



fPj^JCOSCtì) , 



dalla quale si possono facilmente ottenere i teoremi cui ho accennato in principio. 

 Dall' equazione dell' ellissoide si deduce immediatamente 



1 cos^ 0' sen^ 0' cos^ (f>' sen^ 6' sen^ cp' _ 



per cui la precedente relazione si potrà anche scrivere 



r/cos'6' 



sen^^' costai' , sen^6' sen^cc'X"'-^ ^ , , , , 

 H -2 — - ) (cos «) da'^0. 



Se ora in quest' ultima relazione si fanno successivamente infinitamente 

 grandi b ec, a ec,aQb, si ottengono le tre relazioni 



J^cos^^-^ e' (costo) da' = 0, 

 Jsen^-'-^ 6' cos^^-^ (p' V^n (cos co) da' = 0 , 

 Jsen-^-2 e' sen^---^ ip' P^^ (cosco) da' = 0 , 



le quali possono esser considerate come generalizzazioni di un teorema di 

 Legendre (^). 



(1) E. Heine, op. cit, voi. I, pag. 73. 



