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Le pagine seguenti lianno per iscopo di far conoscere pel citato teorema 

 una dimostrazione che sembra nuova e notevole per la sua semplicità ('). 



1. Caso della curvatura nulla. — Le condizioni necessarie e sufficienti 

 perchè la forma differenziale quadratica 



l...n 



(1) '^aiudxidxu, 



che supponiamo definita positiva, dia il quadrato dell' elemento lineare di 

 uno spazio a curvatura costante Kg, sono espresse, secondo la formola Rie- 

 manniana per la curvatura, dalle equazioni seguenti (2): 



(2) {ik , jl)a = Ko («y au — an anj) , 



che debbono sussistere per tutti i valori da 1 ad n degli indici i , k ,j , l, 

 l'apposizione dell' indice a ai simboli a quattro indici {ik.jl) di Riemann-Chri- 

 stoffel denotando che essi sono costruiti per la forma (1) coi coefficienti . 

 È utile pel seguito dare alle condizioni (2), coli' introduzione dei simboli di 

 Christoffel a quattro indici di 2^ specie (^), la forma equivalente: 



\ik,jl\a = Q per ^ + 

 ] il ,jl\ = Ko aij . 



Comincieremo dal dimostrare il teorema enunciato nel caso Ko = 0 , 

 cioè stabiliremo la proprietà che: Se lo sjmsio di elemento lineare 



l...n 



(3) ds'^ = ^ ain dxi dxu 



è a curvatura nulla, si può con una trasformazione reale di variabili ri- 

 durne V elemento lineare alla forma tipica 



(4) ds' = cly\ + dyl + -^dyl{% 



Perchè le due forme differenziali (3), (4) siano equivalenti è necessario, 

 secondo le formolo di Christoffel (^), che ciascuna y , considerata come fun- 



(1) La dimostrazione che qui pubblico è stata da me data in un corso di lezioni 

 dell'anno 1894-95 all'Università di Pisa e fa parte dei capitoli aggiunti, e non ancora 

 pubblicati, all'edizione tedesca delle mie Lezioni di geometria differenziale. 



(2) Vedi Lipschitz, Crelle's Journal, 72. 



(3) Cf. il cap. Il delle mie Lezioni ecc. 



(4) Nel caso della curvatura nulla, la dimostrazione è in sostanza ben nota, ma qui 

 si riporta per dare una trattazione completa. 



(^) Lezioni, pag. 42. 



