quindi anche 

 e però 



come si voleva. 



brs =^0 per r ={= s , "— 1 

 ds^ = dy\ + dyl -\- - + dyl 



2. Forma parabolica dell' elemento lineare di uno spazio pseudosfe- 

 rico. — Nel caso che la curvatura dello spazio sia una costante Kq non 

 nulla potremo adoperare un procedimento analogo al precedente, fondandoci 

 sull'osservazione, dovuta a Weingarten ('), che in tal caso il sistema di 



yi,{n-{-l) pq^^^2ioni simultanee per una funzione incognita U: 



LI 



ili) "^^n _ y ( ik ) lU_-g- ^. ^ 



è completamente integrabile. Invero le condizioni di illimitata integrabilità 

 si riducono appunto alle (2*) che si suppongono soddisfatte (-). Per definire 

 una soluzione U di questo sistema potremo dunque assegnare ad arbitrio, in 

 un punto dello spazio, i valori che vi assumono U e le sue n derivate prime. 

 Ora se U , V sono due soluzioni di questo sistema si ha identicamente 



(5) F(U, V)4-KoUV = cost. , 



come ci accertiamo con calcolo analogo a quello indicato in nota al numero 

 precedente. In particolare si avrà 



(6) ^iU + KoU^ = cost. 



Ne segue, essendo z^iU funzione di U, che le ipersuperficie U = cost. sono 

 geodeticamente parallele ; di più dimostreremo fra breve che sono esse stesse 

 spazi z. n — 1 dimensioni di curvatura costante. 



Supponiamo dapprima che sia Kq negativa e poniamo 



l_ 



Disponendo dei valori iniziali di U e delle derivate, potremo rendere nulla 

 la costante del secondo membro nella (6), cioè 



(7) 



IP 



(1) Crelle's Journal, Bd. 94. Vedi la nota a pag. 197. 



(^) Si osservi che coi simboli delle derivate seconde covarianti {Lezioni, cap. II), 

 il sistema (II) si scrive 



Uts, = — Ko «ift, U , 



ciò che ne pone in evidenza il carattere invariantivo. 



