Ciò posto, assumiamo per ipersuperficie coordinate X\ = cost. precisamente 

 le U = cost., sicché sarà 



e per linee coordinate (^i) prendiamo le loro traiettorie ortogonali (geode- 

 tiche), fissando che il parametro r arco di queste geodetiche contato 

 a partire da un' ipersuperficie iniziale U = cost. L' elemento lineare dello 

 spazio assumerà allora la nota forma geodetica 



1...n 



ds'^ = dx\ -\- ^ Odn dxi dxji . 



i,Ti 



Scrivendo ora che XJ = f{xi) soddisfa, rispetto a quest'ultima forma 

 differenziale, le equazioni (II), coli' osservare che nel caso attuale abbiamo 



Ali = 1 , Ali = 0 {i = 2,S,...n) 



ik ) V^^~~\ J_ ^^ife 



1 L~Li Ja"""" 2 



troviamo che si deve avere 



(8) rvi)=-^ 



D^i ~ '''V'(.^i) ■ 

 Integrando la (8) otteniamo 



dove però, a causa della (7), ima delle due costanti c , c' deve essere nulla. 

 Possiamo dunque fare senz'altro 



dopo di che le (9) ci danno 



f(xi) = e^ , 



2x^ 



ain = e^ . biT, , 



essendo le bik funzioni di soltanto^ ed abbiamo dunque per 



r elemento lineare : 



tXt 2...n 



(10) ds^ = dxi e ^ - y_biu dxi dxn 



