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in ambedue i casi essendo le biu funzioni soltanto di sc^ , Xz , ... Xn- Dalla 

 formola (12) del numero precedente si trae ora: 



{rk , ih)b = {bri bhu — 



brh bik) nel caso a) 



(rk , ih)b = — ^ (àri bhh — brh bm) nel caso b) , 



onde vediamo che le ipersuperfìcie Xi = cost. sono spazi a, n — 1 dimensioni 

 di curvatm'a costante, positiva nel caso a), negativa nel caso b). 



Osserviamo di più che nel primo caso le geodetiche (xi) escono da un 

 medesimo punto a distanza finita dello spazio, dal punto che corrisponde al 

 valore Xi=-0; nel secondo caso poi l'ipersuperficie Xi = 0 è un'ipersuper- 

 ficie geodetica, ogni geodetica dell' ipersuperficie essendo altresì geodetica 

 dello spazio ambiente, sicché le geodetiche (xi) possono allora considerarsi 

 come uscenti da un punto comune ideale dello spazio. In fine nella forma 

 tipica (13) del numero precedente le geodetiche (?/i) escono da un punto co- 

 mune all'infinito, cioè sono parallele nel senso non-euclideo. Le tre forme 

 tipiche trovate possono dirsi così, corrispondentemente al caso n = 2 ('), la 

 forma ellittica, iperbolica e parabolica dell' elemento lineare dello spazio 

 pseudosferico. 



4. Caso della curvatura positiva. — Ci resta da dimostrare il teorema 

 fondamentale nel caso che la curvatura sia una costante positiva 



ciò che faremo ammettendo vero il teorema per gli spazi di curvatura co- 

 stante positiva a w — 1 dimensioni e dimostrando che esso sussisterà anche 

 per gli spazi ad n dimensioni. Così, ricordando che per w — 2 il teorema 

 sussiste (■-), l'avremo stabilito in generale. 



Con processo analogo a quello dei numeri precedenti si darà all' elemento 



lineare dello spazio a n dimensioni colla curvatura costante = -j^ la 



forma 



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(') Lezioni, pag. 183. 

 p) Lezioni, pag. 180. 



