— 211 — 



Esprimiamo quest' ultima in funzione della sola radice s^"^ , facendo uso 

 delle due equazioni (a) ; avremo così stabilita l' equazione trascendente, che 

 volevamo. 



Deduciamo le radici ; per mezzo di esse determiniamo le corrispon- 

 denti Ci rimane ora a determinare le costanti Ajv e M^, che 

 sono tuttora arbitrarie in modo che siano soddisfatte le condizioni per t = 0. 

 Si avrà : 



00 



— Si e'^'"^' = ^ MvAiv sen ]/,u^ — j^^ 



00 



— Si e'^'''^'=y_ M,,AiJsen] /f,^ — j^- — tang|/j»2^ — fi /a.cos^/fg- — ì'fxA. 



Ricordiamo che U. Dini ha mostrato come si possa sviluppare una fun- 

 zione data arbitrariamente in un certo intervallo, secondo la serie: 



1 00 



^ «0 + X iP-n COS InX -f- hn Sen InX) , 

 u 1 



quando le quantità A„ sono radici reali di una equazione della forma: 



F2(^) 4- F,(?) sen -j- ^{z) cos /r^ = 0 , 



in cui le funzioni F2 , Fi e F devono soddisfare ad alcune condizioni ge- 

 nerali 



Ora basterà che noi formiamo due equazioni della forma voluta dalla 

 teoria di Dini e che ammettono rispettivamente per radici le quantità: 



l//'fv— yr e /a'; 



ciò potendosi sempre eseguire con sufficiente approssimazione, si potrà deter- 

 minare coir elegante metodo di Dini i coeflicienti dello sviluppo; i quali 

 per noi saranno le quantità: 



M,Ai, ed M.As, . 



Si avranno così per ogni v due equazioni, che unite alla prima delle 

 equazioni (6) ci daranno tutti i coefficienti voluti. 



Il problema, prescindendo dalla complicazione del calcolo può ritenersi 

 completamente risolto. 



Caso speciale. — Consideriamo ora in modo analogo che per lo stato ' 

 stazionario il caso speciale in cui nel conduttore intervengano così piccole 

 differenze di temperatura che i coefficienti /^ , /ì , e w possano essere con- 



{') Vedi U. Dini, Serie di Fourier ed altre rappresentazioni analitiche delle fun- 

 zioni di una variabile reale. 



