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che tutte le V'V-i di \m sistema A si ottengono da una di esse per le tra- 

 sformazioni omografiche di un gruppo coi medesimi spazi fondamentali, ecc. 

 In una 2-'^ Nota darò le formole per r = 3 , avendo già date quelle per 

 r = 1 , 2 nella succitata Nota dell' Accad. di Torino. I casi possibili sono 13 

 e si hanno corrispondentemente 13 tipi di sistemi ^, dei quali cinque oo^, 

 quattro oo^ e quattro oo'. 



1. La corrispondensa fra i poli e le prime folari rispetto ad una V"y_i 

 non è biunivoca nel solo caso che V\_i sia un cono, cioè possegga un ^h-\ 

 ^npio (/i — 1 , 2 , ... r). Infatti la prima polare di un pimto n''^^" è indetermi- 

 nata. Che se due punti {xa—x^=--=Xr=0 , x^=Xy = -- =Xr-\ —Xr+i=0) 

 hanno, rispetto ad una VVi , di equazione /" = 0 , la stessa prima polare, 



deve essere / — -^^ — ,u — ^ cioè /i — / — - — = 0, onde e mdetermi- 



nata la prima polare del punto (0 0 ... 0 ;it — X) e però ecc. 



Le V'V-i che sono coni hanno le medesime prime polari, cioè tutte 

 le V"zl di Si- . Se due V\_i (che non sono coni) hanno le medesime prime 

 polari, fra i loro poli sussisterà una omografia non degenere. 



2. Le V'V_i che hanno le medesime prime polari costituiscono un 

 sistema lineare, che s'indica con A. Infatti se /"= 0 , /'i = 0 , ... hanno le 

 stesse prime polari, cioè le ipersuperficie Jyf=^0, = 0 , ... (') ap- 

 partengono allo stesso sistema lineare oo*", a questo appartiene pure la 

 Jy{lf -\- fifi -j- ■••) — 0 , qualsiansi A , , ... e però Xf-{- fifi -)-••• = 0 ha 

 le stesse prime polari di /"= 0 , /i = 0 , ... In seguito escludiamo i sistemi A, 

 nei quali ogni V",-_i possiede punto 



3. Un punto unito dell'omografia dei poli, rispetto a due V'V-i colle 

 stesse prime polari, è pure punto unito della omografia dei poli rispetto a 

 due V'V-i qualunque del loro fascio (giacché esso ha, rispetto alle V'V-i di 

 questo fascio, una stessa prima polare). Inoltre, affinchè un punto sia unito 

 in tale omografia è condizione necessaria e sufficiente che sia n^^° per 

 una V">._i del fascio. Infatti, se si ha identicamente lJyf=nJyfi, segue 

 Jy{}.f — /Vi) — 0: e viceversa, da questa identità si passa a quella. 



4. Consideriamo il sistema di punti uniti relativi ad un fascio di un 

 sistema A. Limitandoci alle cosidette omografie generali, dalle quali si ot- 

 tengono tutte le altre come casi limiti, è noto (-) che questi punti uniti si 

 distribuiscono in spazi, fondamentali, S/i'_i , , ... S/i(cr)_i appartenenti 

 ad Sr e tali che .^/ì'*' — r-\-\; e inoltre che ad ogni spazio fondamen- 

 tale S/jCO-i corrisponde uno spazio, coniugato, di piani uniti, al cui sostegno 

 Sr_;j(i) appartengono gli altri spazi fondamentali. 



(}) Si pone Jyf^y.^^y^^A, \-yr+.-^^ . 



(2) Cfr. Predella, Le omoyrafe in uno spazio a qualunque numero di dimensioni 

 (Annali di Matem., t. 17), ove sono citati i precedenti lavori di Segre. 



