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Or bene : risulterà dalle cose seguenti che al variare in A di un suo 

 fascio generico (e basta di un fascio in cui a è massimo) rimane fisso il 

 detto sistema di punti uniti, e che quindi ad ogni sistema A è collegato un 

 determinato sistema di punti che sono i punti uniti dell' omografia dei poli 

 di due sue V"y_i generiche. S' intende che per V",._i particolari possono ag- 

 giungersi altri punti uniti. 



Con A' s' indichi il più ampio sistema situato in ^ e che comprende 

 un suo fascio (generico ma determinato), cosi che gli spazi fondamentali re- 

 lativi a due V"r-_i generiche di A' sieno quelli S^j'-i , ... S;((7)_i relativi al 

 fascio. Poiché si proverà che A! = A , si avranno, nelle proprietà che ora 

 dimostreremo, proprietà di A. 



5. Si prendano r 1 punti indipendenti : 



Fi , P'^ , ... P', in s^r_, , p';. p;'. ... p;;„ in S;,._, , ... 



La prima polare di P'j (ad es.), che è comune a tutte le V"^_i di A! , deve 

 avere in S;,"_i . ... S/,(t)_i spazi (?? — l)"''", perchè i pimti di questi spazi 

 sono w"P^' per particolari di quelle superficie (n. 3), cioè deve avere S,._;/ 

 come spazio {n — 1)"p^° (essendo {n — 1)"p'' r — A'-f-l P'tmti indipendenti 

 di esso). Adunque la detta prima polare di P', si ottiene proiettando da S^.^f 

 una ipersuperficie di ^w-x : e analogamente può dirsi delle prime polari di 

 P'a , ... P'?i' , Pi' , ... P^" . ... Inoltre queste r-\-\ prime polari sono linear- 

 mente indipendenti e individuano quindi il sistema delle prime polari delle 

 Wi di a!. 



Ora facciasi una delle oo*'-' trasformazioni omografiche che ammettono 

 i detti spazi fondamentali S//-, , ... S/ì(t)_i . Sono oo"^-' perchè ad un punto X 

 può farsi corrispondere un punto qualunque X' dello spazio S^-i comune 

 ai <s spazi Sr_7,(i)+i che projettano da X gli spazi Sr-ftco , o anche per le 

 formole (ridotte) di quelle omografie riferite alla piramide dei punti P , for- 

 mole che sono («1,6(2 pararametri) : 



(1) X\ = aiyx, ... Xkf = ttì tjh' , Xh'+ì = diì/h'+i , - Xi,'-t.h'r = a-iì/h'+h" , ••• 



Per una tale trasformazione una V**,..! di A' si trasforma in un' altra che 

 ha le stesse prime polari di quella ed anzi ha con quella gli stessi spazi 

 fondamentali (0, in casi particolari, spazi fondamentali comprendenti questi), 

 perchè le prime polari dei punti P manifestamente non cangiano per detta 

 trasformazione. E però le trasformate, i^er le dette 00 "^-^ omografie, delle V\_, 

 di A' appartengono pure a a' (cfr. n. 10). 



6. Delle considerate omografie infinite contengono altri punti uniti ed infi- 

 nite sono degeneri. Si aggruppino in qualsivoglia modo i e spazi S/^-i , ... Sacd.i , 

 per es. in g — t gruppi, e si prendano per spazi fondamentali gli spazi 

 a cui appartengono rispettivamente quelli di ciascun gruppo (cioè nelle (1) 



