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le prime polari di P'i , ... F'u rispetto alle V",-_i del sistema sono quelle ri- 

 spetto a Wi ; così le prime polari di P'i , .-. P'^^" sono quelle rispetto a W-,; ecc. 

 Si ha adunque uq solo sistema di prime polari e l' omografia dei poli di 

 due V",._i (generiche) ha gli spazi fondamentali Sh'-i , ... S/i(cr)_, . 



9. Per essere le Y\_i di ^i' precisamente oo"^-^ , una considerazione 

 fatta nel n. 7 conduce ad un' altra conseguenza utile in seguito. Mentre V" -i , 

 partendo da ima posizione generica, descrive il polo X di una polare 

 fissa V"zl deve descrivere Sa_i ; e si hanno come omografie di poli ttttte 

 le 00°-' che posseggono i considerati spazi fondamentali. Ossia: ogni omo- 

 grafìa con tali spazi fondamenlali è omografia dei poli di due V\_i di A' , 

 delle quali una sia scelta genericamente. 



10. Si può ora completare la proprietà del n. 5. Il nostro sistema A\ pren- 

 dendo le Wi a rappresentare anche i primi membri delle equazioni delle re- 

 lative ipersuperficie rispetto alla piramide fondamentale dei punti P , ha 

 l'equazione 



^iW, + A^W^ + - + A,W, = 0 . 



Applichiamo una trasformazione (1): si trova (essendo S„_?j' spazio «"p^" per 

 Wi , cioè questa funzione omogenea di ordine n delle sole .Xx-,Xì,...Xh'', ecc.) 



cioè lo stesso sistema A\ per essere le ai arbitrarie. Adunque le V'V-i di 

 un sistema A' provengono da una di esse per le trasformazioni omogra- 

 fiche che hanno gli spazi fondamentali ^n'-\ , — S;i(cr)_i . 



Però dal confronto delle due equazioni precedenti segue che non una 

 sola, ma in generale più e precisamente /z''"' di queste omografie trasformano 

 l'una nell'altra due V'V-i di A": onde si ottengono per una tale V'V-j al- 

 trettante trasformazioni omografiche in sè (coi detti spazi fondamentali), che 

 in generale formano un sottogruppo delle trasformazioni omografiche in sè 

 della ipersuperficie. 



11. E anche la proprietà del n. 6 può essere completata. Infatti dalla 

 equazione superiore del sistema A' si trae immediatamente (dovendo es- 

 sere Xi = = ■•■ = = 0) che le V'V_i di A' che hanno n'''^'-° lo spazio 

 Sft_i = S;/+?i"+...+;ì(t)_, sono 00 Ad es. sono oo''-^ quelle che hanno ;z'^p'° 

 uno spazio fondamentale. 



12. Si mostrerà adesso che esternamente ad un sistema A' non esistono 

 ipersuperficie che abbiano con quelle di A' le medesime prime polari, ossia 

 che A = A\ come si affermò nel n. 4. Si deve eccettuare il caso n = 2, 

 nel quale manifestamente il teorema non sussiste. 



Sia -Q = 0 una ipersuperficie che ha le stesse prime polari di quelle 



