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Queste condizioni (') sono adunque necessarie. Ma esse sono anche suf- 

 ficienti affinchè una ^ = 0 abbia le stesse prime polari di una f=0, es- 

 sendo (2) la relazione omografica fra i poli; cioè insomma affinchè una ^ = 0 

 sia della detta oo!''-+<'-i. infatti, ponendo simbolicamente (f = §aP, dalle (5) 

 si hanno le 



(<3) J_au, §n - A„ =- Tam, h A, ... 



k ^ 



essendo ti t^ ... tn una qualunque disposizione dei numeri 1 , 2 , ... r -|- 1. Si 

 può quindi sempre determinare una funzione f=b:^ soddisfacente alle (3), 

 perchè deve aversi 



k 



= ^(^lih — A« 



i cui secondi membri, per le (6), sono eguali. Si ritorna poi alle (2) per il 

 teorema di Eulero. È facile del resto verificare che la / così ottenuta sod- 

 disfa alle (5). Infatti dalle (4) si ha 



e parimenti 



jh uXh ùXj 



dalle quali, sottraendo (per avere j , k lo stesso significato e quindi essere 

 scambiabili), si hanno per la / appunto relazioni della forma (5). 



Concludiamo che 1' equazione della V"y_i variabile nell' oo(^-+<^-^ relativa 

 a dati spazi fondamentali S//_i , ... S;i(t)_, , si calcola partendo da una omo- 

 grafia (1) con questi spazi fondamentali, generica ma determinata (i rapporti 

 delle ttiii cioè essendo dati) e soddisfacendo alle (5). Nella g che si ot- 

 terrà debbono restar liberi linearmente /' -[-''' — 1 coefficienti. 



(*) Ne discendono ( ^ )( r prelazioni omogenee lineari fra le 



-1 



quantità au — ajj , , aji , ... (contando cioè delle au — ajj soltanto quelle linearmente indi- 

 pendenti). Il primo numero è inferiore al secondo solamente quando w = 2 ed r qualun- 

 que, ovvero w = 3 ed r—ì. Ciò porta a ritenere che, esclusi questi casi, le ¥",-_> che 

 hanno con altre le medesime prime polari sono particolari, come si trova effettivamente 

 per r = 1 , 2 , 3. 



