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un fascio di curve razionali C si può trasformare birazionalmeute in una 

 superficie possedente un fascio di coniclie; quest'ultima superficie (e quindi 

 la prima) si trasforma in una rigata se si può determinare una curva uni- 

 secante le coniche del fascio » . Ma 1' esistenza di una siffatta curva unise- 

 cante viene stabilita soltanto se il genere p del fascio (considerato come ente 

 algebrico oo^ che ha per elementi le C) è nullo, ossia se il fascio delle C 

 è lineare. Resta dunque ancora insoluta la questione " se una superficie pos- 

 sedente un fascio irrazionale di curve razionali sia sempre riferibile ad una 

 rigata (avente il genere p del fascio) ». 



Tale questione viene qui risoluta affermativamente quando p = \ o = 2 ; 

 viene dunque stabilito (con una concisa dimostrazione) il teorema: 



Ogni superficie possedente un fascio ellittico o di genere due di curve 

 razionali si può riferire ad una rigata (risp. ellittica o di genere due). 



L' estensione del teorema per 7J > 2 formerà oggetto di ima Nota 

 ulteriore. 



1. Sia P una superficie possedente un fascio di genere p di coniche. 

 Possiamo supporre che essa appartenga ad uno spazio S„, dove n è grande 

 quanto si vuole, e che le nominate coniche C di essa stieno in piani n non 

 intersecanti ulteriormente la superficie. Si scelga una qualsiasi curva Z uni- 

 secante i piani TT , e si proietti ogni conica C dal punto della t che appar- 

 tiene al suo piano, in un S„_i fissato. 



La superficie P viene così rappresentata sopra una rigata doppia (f di S„_, , 

 la curva di diramazione sopra (f è costituita da una curva K bisecante le 

 generatrici, ed eventualmente anche da un certo numero q di generatrici ai ... a^. 

 Queste debbon esser tangenti a K (0 incontrare K in punti doppi) perchè 

 ogni generatrice di q che non tocchi K è proiezione doppia di una conica C 

 irriducibile. 



Supponiamo per semplicità che i q punti di contatto non sieno doppi 

 per K. Accenneremo poi alle modificazioni da introdurre nei ragionamenti 

 successivi, quando valga l' ipotesi opposta. 



Vogliamo costruire su (f una curva L , unisecante le generatrici, la quale 

 passi per i punti di contatto Ai ... Ap della K con ai ... , e tocchi la K 

 stessa negli ulteriori punti d' incontro. 



Si scelga sopra (f un sistema lineare di curve B unisecanti le genera- 

 trici e privo di punti base. La dimensione r del sistema (completo) delle d 

 potrà supporsi grande ad arbitrio, giacché il sistema stesso può sempre es- 

 sere ampliato sommando alle curve primitive un certo numero di genera- 

 trici di (f (^). 



Mediante il sistema scelto delle 6, si trasformi la rigata (p in modo 

 che le dette 0 vengano segate dagli iperpiani di un S^; si avrà una ri- 

 {}) Cfr. Segre, Courbes et surfaces réglées algébriques, II. Mathem. Annalen, Bd. 34. 



