— 283 — 



gata (f! di S,-, sulla quale la curva K e le generatrici tangenti ... «p di y 

 avranno come corrispondenti risp. una curva K' e q generatrici tangenti di ... a'p. 



La curva K' può supporsi una curva normale dello spazio Sr , altrimenti 

 la rigata doppia (f' potrebbe riguardarsi come proiezione di un' altra rigata 

 doppia di Sr+i avente lo stesso numero di generatrici di diramazione ('), e 

 si potrebbero riferire i ragionamenti cbe seguono a questa seconda rigata in- 

 vece che a (f'. Ora, indicato con P il genere di K' (o di K), l' ordine di K' 

 (supposto r ^ P), sarà 



m = r -|- P • 



Questo ordine m avrà la stessa parità o disparità di q poiché la curva 

 K' -j- a\ ••■ -f- a'p costituisce la intera cm'va di diramazione della rigata 

 doppia (f' , e quindi m-\- q h pari. 



Si considerino gli iperpiani passanti per i q punti di contatto di di ...d^ 

 con K', essi formano un sistema lineare la cui dimensione è (almeno) r — q. 

 Questi iperpiani incontrano ulteriormente K' in m — q punti. 



La determinazione degli iperpiani del detto sistema che toccano K' 

 fu — P 



in — r — punti (cioè che toccano K' in tutti i punti d' incontro cadenti fuori 



di quelli fìssati) si può far dipendere, come è noto, da un problema di bi- 

 sezione delle funzioni abeliane inerenti a K'. Questo problema ammette certo 

 soluzioni se 



ossia se si è preso 



P -j-Q. 



Ora (supposto appunto di aver preso r ^ P -|- c) gli iperpiani di S,- 

 che soddisfano alle condizioni richieste segano su (f ' delle curve L', cui cor- 

 rispondono sopra (p le curve L domandate. Infatti le L , unisecanti le gene- 

 ratrici di (f passano pei q punti di contatto di K con «i... ap, e toccano 

 ulteriormente la K stessa ovunque la incontrano. 



2. Ritorniamo alla superfìcie F, contenente un fascio di coniche C, che 

 avevamo rappresentato sulla rigata doppia (f . Alle curve L di ^ corrispon- 

 dono sopra F certe curve A , bisecanti le coniche C del fascio, che hanno il 

 genere minimo fra tutte le bisecanti possibili. Avendo indicato con p il ge- 

 nere del fascio di coniche (che è il genere della rigata doppia (p) il genere 

 delle A, valutato secondo la formula di corrispondenza di Zeuthen sarà 



2p — l. 



(•) Per la costruzione di tale rigata cfr. Segre, 1. e, pag. 4 (**). 



