— 284 — 



Le A possono eventualmente essere spezzate in due curve unisecanti le C . 

 È ciò che avviene sempre quando p = 0 ('). La presenza di una siffatta X 

 spezzata basta a riferire punto per punto la superfìcie P ad una rigata di 

 genere p. Ci metteremo dunque nel caso più sfavorevole, supponendo di aver 

 ottenuto una curva l irriducibile (p > 0). 



La costruzione di una A di genere 2p — 1 su F è stata fatta nell' ipo- 

 tesi che sulla rigata doppia (f le generatrici ai ... toccassero K in punti 

 semplici. Neil' ipotesi opposta si riesce ugualmente allo scopo introducendo 

 una leggiera modificazione: non basta più che le curve L passino per quei 

 Q punti, ma per ciascun punto doppio si esige un contatto della L con K 

 tale che il numero delle intersezioni di L e K assorbite in quel punto, ri- 

 sulti dispari. 



3. Rappresentiamo nuovamente la superficie F sopra una rigata doppia 

 scegliendo però la curva Z del n. 1, non più ad arbitrio, ma in modo che 

 la proiezione di A sia la curva di diramazione della rigata. Basta perciò 

 determinare la X come luogo dei poli delle corde delle coniche C che con- 

 giungono le intersezioni di A colle dette C. 



Si indichi con (D la rigata doppia così ottenuta, e con 'A' la sua curva 

 di diramazione omologa a A, alla quale eventualmente dovranno sommarsi 

 alcune generatrici di <P. 



Procedendo come innanzi (coli' avvertenza che un punto comune a A' e ad 

 una generatrice di è sempre un punto doppio) costruiremo su cP una curva 

 unisecante le generatrici e tangente alla curva di diramazione in ogni punto 

 d' incontro. A questa curva corrisponderà sopra F ima curva cr (eventualmente 

 spezzata) di genere 2p — 1. La curva e, come la A, biseca, le coniche C; 

 inoltre sopra ogni conica C le due coppie segate da A e da o" si separano 

 armonicamente. Possiamo esprimere questa relazione dicendo che A e e sono 

 due bisecami armoniche delle coniche G. 



4. Supponiamo ora p = l . Come nel caso generale si ottengono sopra 

 la superficie F due bisecanti armoniche delle coniche C, aventi il genere 

 minimo 2p — 1 ; in questo caso ciascuna di tali bisecanti è ellittica o si 

 spezza in due unisecanti. Prendiamo in esame l' ipotesi più sfavorevole, in 

 cui le due bisecanti A e e sieno irriducibili. 



Possiamo costruire su F un fascio razionale costituito da coppie di co- 

 niche C, scegliendo una g'o nell'ente ellittico oo' che ha per elementi le C. 



Ora ci proponiamo di costruire su F una involuzione (di coppie di punti) 

 che trasformi ogni C nella coniugata, accoppiando dunque le C nel modo 

 detto innanzi. 



Si prendano in un modo particolare due C coniugate: sieno Ci e C2. 

 Indichiamo con A, A', e B, B'i le coppie di punti segate su Ci risp. da A 



(') E così appunto si può riferire la F ad un piano. Cfr. il n° 9 del mio lavoro 

 Sulle irrazionalità... Mathem. Annalen — Bd. 49. 



