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e da (X ; e indichiamo similmente con Aj A'2 e Bo B'o le coppie segate da >l 

 e da e su C2. 



Facciamo corrispondere snlla curva ellittica X i punti Ai A2 (oppure 

 Al A'2) ; otteniamo una involuzione razionale g'i ; questa g\ è notoriamente 

 permutabile colla involuzione ellittica y'^ e perciò contiene pure la coppia 

 A'i A'2 (0 risp. A'i A2). Ora se si prendono due altre C coniugate, generiche, 

 i due punti in cui l'una di esse è segata da X corrispondono ai due punti 

 di sezione dell' altra in un modo che è razionalmente determinato, appena 

 sia fissata su l la nominata g'i (la scelta di questa g'o dipende da un' ir- 

 razionalità quadratica puramente aritmetica). 



Associando i punti Bi Bj , B'i B'2 della curva ellittica e , otterremo del 

 pari sopra di essa una involuzione razionale g't permutabile coli' involu- 

 zione y't segata dalle 0, e mediante una tale g't risulterà fissato razional- 

 mente un riferimento ordinato delle due coppie di punti segate da e sopra 

 due C coniugate. 



Ciò posto, date due C coniugate generiche, ai quattro punti in cui l' una 

 di esse è segata da A e da e si possono far corrispondere ordinatamente i 

 quattro punti d' incontro dell' altra colle stesse due curve, e poiché le due 

 quaterne di punti sono armoniche, e si corrispondono in esse le coppie di 

 punti coniugati armonici, le due coniche C risultano riferite proiettivamente 

 in un modo determinato. 



Ora le coppie di punti omologhi di due C coniugate, danno luogo su F ad una 

 involuzione I che accoppia le C coniugate, come appunto avevamo richiesto. 



5. Si costruisca una nuova superficie P' i cui punti corrispondano alle 

 coppie dell' involuzione I ottenuta su F. Alle coniche C di F corrispondono 

 su F' curve razionali C, e precisamente ogni C corrisponde a due C coniu- 

 gate. Le C formano dunque su F' un fascio lineare di curve razionali. Al- 

 lora (col sig. Nòther) si può costruire su F' una curva unisecante le C 

 (cfr. anche il n. 2). A questa corrisponde sopra F una curva unisecante le C. 



Tanto basta per affermare che la superficie F può essere riferita bira- 

 zionalmente ad una rigata ellittica, di cui le generatrici corrispondono alle C. 



6. Il metodo precedente si fonda sopra la circostanza che " date due 

 curve ellittiche A e e rappresentate doppiamente sopra uno stesso ente el- 

 littico (0 curva) y , ogni g\ di y corrisponde (in due modi) ad una g'i (co- 

 niugata di sè stessa) tanto su X che su a" . L' ente ellittico y era nel nostro 

 caso il fascio delle coniche C della superficie F, nel qual fascio appunto 

 avevamo scelto una g\ qualsiasi. 



Ora evidentemente basta pel nostro scopo aver constatato 1' esistenza di 

 una particolare g'2 di / cui corrisponda tanto su X come su e una g'^ (co- 

 niugata di se stessa). 



Osservato ciò, il metodo si estende senz'altro al caso in cui il genere p 

 del fascio di coniche C , valga p = '2,. 



Kendiconti, 1898, Vol. VII, 2° Sem. 38 



