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2. Una superficie possedente un fascio di curve razionali può sempre 

 trasformarsi (col sig. Nother) in una superticie possedente un fascio di coniche. 



Sia F una superficie possedente un fascio di genere p (^1) di coniche C. 

 Come è indicato nella nostra Nota citata, possiamo ottenere sopra F , o una 

 curva bisecante le C spezzata in due imisecanti, oppure due curve irriduci- 

 bili A e bisecanti armoniche delle G , aventi il genere minimo 2p — 1 . 

 La prima ipotesi conduce subito (col sig. Nother) a rappresentare la F sopra 

 una rigata. Esaminiamo dunque la seconda ipotesi. 



Le due curve X&tì sono riferite doppiamente ad un ente algebrico co' y , di 

 genere , che è il fascio delle C o una curva i cui punti corrispondono biunivo- 

 camente agli elementi (C) del fascio. Poniamo ora che si possa costruire su y 

 una serie lineare g'n cui corrisponda, tanto su l come su e , una g'n (coniugata 

 di se stessa). La possibilità di questa costruzione verrà stabilita in seguito. 



Aggruppiamo le curve C ad n ad w, secondo i gruppi della g'n; otteniamo 

 così sopra F un fascio lineare di curve composte Ci -|- C2 + •■• -f~ ^n- Tra 

 i gruppi di C che abbiamo costruito consideriamone uno generico Ci , C2 ... C„ . 



A questo gruppo (che è un gruppo della g'n fissata su y), corrispondono 

 su X due gruppi G„ G'„ di una stessa g'n ben determinata, i quali, presi 

 insieme, costituiscono le 2/z intersezioni di / con Ci -f- C2 -f- ••• -f- C„ ; pre- 

 cisamente Gn contiene un punto di Ci, un punto di C2 ecc., mentre G'„ 

 contiene le intersezioni residue. 



In questo modo a due punti di Ci , intersezioni di /l , si possono far 

 corrispondere ordinatamente, in un modo razionalmente determinato, due punti 

 di C2, due punti di C3 ecc. Similmente ai due punti di Ci intersezioni di a 

 si possono associare in modo razionalmente determinato i due punti di C2, 

 di C3 ecc. intersezioni della stessa e. Ora sopra ciascuna C le coppie se- 

 gate da 2 e da e si separano armonicamente; quindi si viene a stabilire un 

 riferimento razionalmente determinato di un gruppo armonico di Ci ad un 

 gruppo armonico di C2 ecc. Le Ci Co ... C« risultano cosi riferite proiettiva- 

 mente l'uua all'altra. Ad un punto Pi di Ci corrisponde un punto P2 

 di C2 ... un punto P„ di Cn . 



I gruppi di punti analoghi a Pi Pj ... P„ formano sopra F una invo- 

 luzione I„. Riferiamo i gruppi di I„ ai punti d'una nuova superficie F'. 

 Sopra F' si avrà un fascio lineare di curve razionali C, corrispondenti cia- 

 scuna ad 71 curve C: CiC2...C„. Si può costruire (col sig. Nother) una 

 curva unisecante le C su F'; a questa curva corrisponde su F una curva 

 unieecante le C , la quale permette di riferire la F ad una rigata. 



3. Resta pertanto da stabilire il lemma di cui abbiamo fatto uso: 



Se due curve A e (T di genere P = — 1 sono riferite ad una stessa 

 curva doppia y di genere (senza punti di diramazione) ('), si può co- 



(') È noto che esistono 2''^ — 1 curve di genere P, birazionalmento distinte, riferi- 

 bili ad una stessa curva doppia di genere p, senza punti di diramazione. Cfr. Hurwitz 

 u Ueher Riemann' sche Fiat hen mit gegebenen Verzweigungspuncten ». Math. Annalen Bd. 39, 



