straire su y una cui corrisponda tanto su X come su o' una g n (trasfor- 

 mata in sè stessa dall' involuzione / di cui le coppie corrispondono ai punti 

 di y). 



Anzitutto si noti che n deve esser pari, cioè n = 2m, perchè su X 

 (o su cr) una g'n trasformata in sè stessa dall' involuzione / deve possedere 



n 



due gruppi uniti, costituiti ciascuno da — coppie di y. 



Ora il problema proposto sembra ammettere soluzioni per m^p — 1 

 come si desume da un opportuno conto di costanti. Ma volendo togliere ogni 

 dubbio resultante dall' uso di procedimenti enumerativi forse non pienamente 

 rigorosi, risolveremo il problema proposto per w = P. 



Prendasi su y un arbitrario gruppo Grp di P = 2jt9 — 1 punti ; esso ap- 

 partiene ad una serie completa non speciale g^~lx che indicheremo con s. 



A questa serie corrisponde su / (e ugualmente su a) una serie ^J^2 

 composta mediante la involuzione y' di cui le coppie corrispondono ai punti 

 di y; la g^^jl^ appartiene ad una serie completa (non speciale) gll'l}^. Ora 

 mediante la serie ^4^zì si trasformi la curva X in una curva d' ordine Ap — 2 

 di un S2j,_i ; questa verrà trasformata in sè stessa da un' involuzione proiet- 

 tiva che ha uno spazio di punti uniti Sj5_i , base pel sistema oo^'~' degli iper- 

 piani che segano su X la ^^^2 sopra nominata ; l' involuzione stessa ammet- 

 terà dunque un altro Sp_i di pimti uniti, il quale sarà pure base per un 

 sistema oo^-' di iperpiani seganti su X un'altra serie g^jl^ composta colle 

 coppie dell' involuzione /. 



Cerchiamo che cosa corrisponde su y alle serie considerate su X. Otter- 

 remo come corrispondente alla gfpi^ una serie non lineare contenuta nella 

 serie completa gfp^^ doppia della gl~lx = s ; entro questa serie non lineare, 

 e per conseguenza entro la gfpZX , si avrà, oltre la nominata gl~li = s con- 

 tata due volte, un' altra g^fli (che designeremo con s') pure contata due volte, 

 in corrispondenza alla seconda ^^^2 composta colle coppie di y' che abbiamo 

 costruito su X. 



Le due g^jlx ottenute su /, s ed s', non hanno gruppi comuni; un gruppo 

 qualunque G della prima, ed un gruppo Gr' della seconda, non sono equiva- 

 lenti, ma contati due volte appartengono ad una g'ip-z cui corrisponde sopra X 

 una g'ip-ì trasformata in se stessa dall'involuzione /. 



Eipetendo gli stessi ragionamenti in relazione alla curva e, otterremo 

 ancora su / un' altra serie g'ì~X che designeremo con s", non avente gruppi 

 comuni con s, tale che un qualsiasi gruppo Gr di s ed un gruppo G" di s", 

 contati due volte, appartengono ad una g\p-2 cui corrisponde sopra a una g'ip-z 

 trasformata in sè stessa dall' involuzione / ; la serie s" come s' appartiene, 

 contata due volte, alla serie completa gl^zl doppia della s. 



Ora le serie complete s' ed s" non hanno alcun gruppo comune, oppure 

 coincidono; nel secondo caso una qualsiasi g'ip-i determinata da un gruppo 



