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Le due direzioni principali o, in altri termini, le due direzioni dell' el- 

 lissoide che si mantengono ortogonali nella rappresentazione, sono definite dai 

 valori di a che annullano la derivata del secondo membro della (2), e sono 

 quindi da ricavarsi dall' equazione 



tg2a = 



2/ 



QV 



Se si vuole che in ogni punto dell' ellissoide le direzioni principali coin- 

 cidano con quelle dei paralleli e dei meridiani, dovrà essere /=0, ossia 



^ ]iM I ^ 



Questa equazione, congiunta colla (1), definisce quindi le proiezioni quan- 

 titative nelle quali i paralleli ed i meridiani sono rappresentati da un doppio 

 sistema di curve ortogonali. Tali proiezioni vennero già studiate da Korkine 

 il quale fece dipendere il problema da una equazione alle derivate parziali 

 del secondo ordine, della quale effettuò l' integrazione ('). 



Qui ci proporremo il seguente problema, non contemplato nel lavoro di 

 Korkine, ed al quale sarebbe difficile rispondere in base alle formolo ivi 

 stabilite : Ricercare le proiesioni quantitative nelle quali i paralleli ed 

 i meridiani sono rappresentati da due famiglie di linee ortogonali isoterme. 



Eiferendo il piano ai parametri isometrici u & v àS. tali due famiglie di 

 linee, le equazioni (1) e (3) dovranno essere soddisfatte quando vi si ponga 



u = u{(f) V = v{6). 

 Con ciò la (3) risulterà identicamente soddisfatta, la (1) assumerà la forma 



... dudv kgr 



d^dè~~~JF'' 



e questa non potrà essere soddisfatta se non nel caso in cui il secondo 

 membro si riduca al prodotto di una funzione della sola cp per una funzione 

 della sola d o, ciò che è equivalente, se non nel caso in cui si abbia 



Perchè l'assunto sistema di curve ortogonali isoterme del piano sia 

 atto a rappresentare i paralleli ed i meridiani in una proiezione quanti- 

 tativa, occorre che l'elemento lineare, ad esso riferito, si presenti sotto 

 la forma 



ds'' = f,{u) f.{v) (da' + dv^) . 



(1) A. Korkine, Sur les cartes géographiques. Math. Ann., Bd. XXXV 1890. 



