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Ora si ottengono tutti i sistemi ortogonali isotermi del piano ponendo 



X -\-iy = xpi{u -\- iv) X — iy = ^2{u — iv) , 



indicandosi qui con tp2 ciò che diventa la funzione i/'i quando si cambi i 

 in — i non solo nell' argomento, ma anche, eventualmente, nei coeiBcienti 

 della funzione. Differenziando le due relazioni e moltiplicandole si ottiene 



ds'^ = dx^ + dy^ = xp^ xp2 [dw" + dv"") . 



La funzione xp che determina il doppio sistema di linee dovrà dunque 

 esser tale che si abbia 



rpi\u + i v) xp2{u — iv) = fi{u) f^iv) . 

 Se si pone per semplicità 



Wi — u iv W2 = u — iv , 



si prende il logaritmo dei due membri della relazione e si deriva una prima 

 volta rispetto ad u ed una seconda rispetto a y, si ottiene 



£? log ^^'M = £i log ^^'M • 



Ma r eguaglianza fra questi due rapporti, dipendenti da variabili diverse, 

 non può sussistere a meno che entrambi non si riducano a una costante. In- 

 dicandola con 2 C e tralasciando gli indici, dovrà dunque aversi, in general e, 



logV^»-2C, 



dio 



ed integrando 



xp{w) = k jé^'^"^^''"dw + 



B 



/ sistemi ortogonali isotermi del piano atti a rappresentare i paral- 

 leli ed i meridiani^ in una proiezione quantitativa dell' ellissoide terrestre,, 

 sono dunque tutti e soli quelli definiti dalla relazione 



(5) x^iy= A Je^'"*^'^' '+c'(w*««) ^-y) _|. B ^ 



Di qui si ricava 



d^^ = dx"" + dy"" = e2C(«^-«*)+2C'M (^^s _|_ ^^j) ^ 



e quindi la forma necessaria del coefficiente sarà 



^2 = A^ g2«(C»+C') ^-2Cì;2 _ 



