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Le ipo tesi TI e Vili dei Fondamenti le ho giustificate brevemente 

 mediante i numeri stessi che da quelle ipotesi si ricavano, supponendo come 

 è possibile che quei numeri siano poi stabiliti indipendentemente da quelle 

 ipotesi. Ma nella mia Nota : Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti 

 infiniti e infinitesimi attuali, ho accennato ad un metodo diretto e geome- 

 trico più generale per dimostrare la possibilità di quelle ipotesi ('). Un tale 

 metodo mi permette anche di dimostrare che per stabilire i fondamenti 

 della geometria non è necessario dare un jjostulato jjer la continuità della 

 retta. Ciò chiarirà ancora meglio la indipendenza del continuo dal postulato 

 d'Archimede, mentre dal postulato del continuo del sig. Dedekind si trae 

 tosto quello d'Archimede, appunto perchè, per formulare il suo postulato, De- 

 dekind si fonda sulla corrispondenza dei punti della retta ai numeri reali 

 ordinari. 



Questo metodo sarà svolto interamente nell'Appendice dei miei Ele- 

 menti di Geometria i^-), ma per l'importanza che ha nella matematica il 

 concetto del continuo non parmi inopportuno di comunicare intanto in questi 

 Eendiconti i risultati della mia ricerca. 



1. Le ipotesi VI e Vili dei Fondamenti sono riunite negli Elementi nel 

 post. XI, cioè: 



A. Se un segmento (XX') sulla retta cogli estremi sempre variabili 

 in verso opposto diventa indefinitamente piccolOj esso contiene almeno 

 un punto distinto dagli estremi. 



Il segmento viene qui considerato in quanto esso diventa indefinitamente 

 piccolo, e quindi possiamo supporre che i punti X si mantengano sempre da 

 una stessa parte dei punti X' e viceversa. 



Indefinitamente piccolo significa che il segmento diventa e rimane da 

 un certo suo stato piti piccolo di ogni segmento scelto ad arbitrio. 



Al detto postulato sono premessi nei Fondamenti e negli Elementi: 



I) il post. I: esistono punti distinti; 



li) il post. II secondo il quale: dato un punto qualsiasi k nella retta, 

 esistono in un dato verso due segmenti V uno col primo l' altro col secondo 

 estremo nel imnto A ed eguali ad un segmento XT nella stessa retta e nel 

 verso dato. 



Negli Elementi ammettiamo semplicemente (post. VI) e nei Fondamenti 

 implicitamente nel concetto di eguaglianza che un segmento non è eguale 

 ad una sua 'parte (■^). 



(1) Matli. Annales, voi. 47, 3. 



(2) Padova, ed. Drucher, 1897. 



(3) Nel post. II degli Elementi è ammessa per ragioni didattiche la invertibilità del 

 segmento, cioè AB = BA, mentre nei Fondamenti è dimostrata. Essa non ha del resto al- 

 cuna influenza sulla questione di cui qui ci occupiamo. 



