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Oltre alle prop. I) e II) dobbiamo ammettere pare quest'altro postulato: 



IH) in ogni segmento (AC) a partire da un punto A in un dato verso 

 della retta, vi è almeno un punto distinto dagli estremi (^). 



Colla prop. II) si dimostra la prop. Ili) per ogni punto della retta. 



Dalla II) si deducono facilmente i teoremi della somma e della diffe- 

 renza di due e piìi segmenti, dei multipli e summultipli di un segmento {^). 



Dalla II) e dalla III) si deduce facilmente che la somma di due segmenti 

 che diventano indefinitamente piccoli diventa pure indefinitamente piccola. 



Dalle prop. I), II), III) non si deduce senza la A che il segmento è di- 

 visibile in n parti eguali, e per ciò non possiamo far uso, anche volendo, dei 

 numeri frazionari. 



Posto ciò procediamo così: 



Def. I. Dicesi punto improprio ogni segmento (XX') che ha gli estremi 

 sempre variabili in versi opposti sulla retta e diventa indefinitamente piccolo. 



I punti dati dal post. I si chiamano punti propri. 



Secondo questa definizione il punto improprio è determinato non tanto 

 dalle serie dei punti X e X' quanto dal fatto che (XX') diventa indefinitamente 

 piccolo; vale a dire scelto uno dei segmenti (XX') piccolo ad arbitrio, i seg- 

 menti (XX') in esso contenuti determinano lo stesso punto improprio. 



Ogni punto proprio è determinato da un punto improprio. 



Def. II. Due punti dati (XX') e (YY'), tali che X, X', Y e Y' si se- 

 guono nel verso da X a X', si dicono coincidenti, quando ogni punto proprio X 

 sia un punto Y o compreso fra punti Y ; ovvero ogni punto X' sia un punto Y' 

 0 compreso fra punti Y'. Ciascuna di queste condizioni ha per conseguenza 

 r altra. 



Tale definizione è verificata da tutti i punti impropri che determinano 

 lo stesso punto proprio, o da due punti impropri che determinano due punti 

 propri coincidenti. 



Osservo ancora che quando i due punti (XX'), (YY') coincidono non può 

 essere che fra punti Y vi siano punti X', 



Dalla def. II segue inoltre che il segmento (XY') resta maggiore di un 

 certo segmento f, se i due punti (XX'), (YY') sono distinti, e inversamente. 



Def. III. Due punti impropri (XX'), (YY') si seguono in un verso della 

 retta, quando considerati i detti punti determinati da segmenti (X, X/), 

 (Yi Y/) abbastanza piccoli (def. I). i punti X,, X/, Yi, Y/, si seguono nel 

 verso dato. 



In virtù di questa definizione valgono per l' ordine dei punti impropri 

 le stesse regole che pei punti propri. 



('j Questa prop. è contenuta con la prop. A nel post. XI degli Elementi ed è invece 

 dimostrata nei Fondamenti mediante le ipotesi sugli infiniti e infinitesimi. 



(2) Vedi Elementi, nn. 7, 8, 9, 10: se non si fa uso della prop. AB = BA, allora 

 bisogna tralasciare il teor. I del n. 8; vedi anche Fondamenti (nn. 72, 73, 74 e 79). 



