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Def. IV. Per segmento Ai due punti impropri (XX'), (YT') s' intende 

 la coppia delle due serie di segmenti propri (XY), (X'Y') e che indicherenio 

 col simbolo [(XX'), (YY')]. 



Per la determinazione del segmento basta considerare quei punti X e X', 

 Y e Y' tali da essere contenuti in due segmenti (Xj X/) e (Yi Y/) piccoli 

 a piacere, e tali dunque che (X'Y) si mantiene superiore al segmento dato 

 (X/ Y.). 



Se i punti (XX'), (YY') determinano due punti propri L e L', il seg- 

 mento [(XX') (YY')] determina il segmento (LL'), e viceversa. 



Ogni segmento proprio (LL') può essere considerato come un segmento 

 che unisce due punti impropri. 



Def. V. Due segmenti [(XX') (YY')], [(XjX/) (YiY/)] si dicono eguali 

 se la differenza di (X' Y) e (X/ Yi) diventa indefinitamente piccola. 



Per ciò, se ad ogni segmento (X' Y) è eguale un segmento (X/ Yi) e vi- 

 ceversa, i due segmenti impropri sono eguali. 



Def. vi. Il segmento [(XX') (YY')] dicesi minore o maggiore del seg- 

 mento [Xi X/) (Yi Y/)], se si può dare un segmento s tale che la differenza 

 (X' Y) — (X/ Yi) oppure (X/ Yi) — (X' Y) diventi e resti maggiore di e. 



Mediante le premesse definizioni si dimostra: 



a) Ogni segmento improprio non è eguale ad una sua parte. 



b) Dato un punto (AA') e un segmento [(XX') (YY')] in un dato 

 verso esistono in questo verso due segmenti impropri l'uno col primo estremo 

 l'altro col secondo estremo in (AA') eguali al segmento dato. 



La prop. II) è così completamente verificata anche dai punti impropri, 

 e quindi anche i teoremi sopra citati della somma, differenza e dei multipli 

 e summultipli dei segmenti ('). 



Si dimostrano inoltre queste altre proposizioni : 



e) Dato un segmento qualunque [(XX') (YY')] esiste in esso un punto 

 improprio distinto dagli estremi. 



E date le definizioni di segmento improprio variabile e di segmento im- 

 proprio che diventa indefinitamente piccolo come pei segmenti propri si ha : 

 d) Se un segmento improprio [(XX') (YY')] cogli estremi sempre 

 variabili in versi opposti diventa indefinitamente piccolo, esso contiene un 

 punto improprio distinto dagli estremi. 



Questa prop. corrisponde al postulato A della continuità dato nei Fon- 

 damenti e negli Elementi pei punti propri. 



Se si ammette pei segmenti propri anche il post, d' Archimede (post. XII 

 degli Elementi) allora si dimostra la stessa proposizione anche pei segmenti 

 impropri. 



(1) Se si ammette la prop. AB = BA nella II), come negli Elementi, allora si dimostra 

 facilmente mediante la def. V che la stessa prop. vale pei segmenti impropri. 



