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Con questi postulati si dimostra la divisibilità del segmento in n parti 

 eguali. 



I postulati fin qui dati per la retta riguardano la retta in sè, e con 

 essi, eccettuato il post, d' Archimede, estendendo il concetto del punto si può 

 evitare di dare un postulato per la continuità della retta. 



2. Ma ammessi gli altri postulati necessari per stabilire la geometria 

 dello spazio, si può evitare di dare un nuovo postulato per la continuità della 

 retta ? Negli Elementi questi postulati sono per la geometria Euclidea i postu- 

 lati III, IV, VI,, VII e X (^) che sono indipendenti dal postulato d' Archi- 

 mede ed anche dai concetti d' infinito e infinitesimo, come lo è la prop. A. 

 A tale scopo dobbiamo rendere il concetto del punto improprio indipendente 

 dalla retta. 



A tal proposito osserviamo che se due rette hanno un punto proprio 0 

 in comune, supponendo determinato questo punto nelle due rette da due punti 

 impropri (XX'), (YY') nel senso della def. I, n. 1, i segmenti (XY), (XT) diven- 

 tano pure indefinitamente piccoli, perchè gli altri due lati nei triangoli OXY, 

 OX'Y' decrescono indefinitamente. Per la stessa ragione diventano indefinita- 

 mente piccoli i seguenti (XY'), (X'Y). Dunque diremo : 



Def. I. Date due serie distinte qualunque di punti (X) (X') tali che 

 il segmento (XX') diventi indefinitamente piccolo e in quanto esso diventa 

 indefinitamente piccolo lo chiameremo fimto impì-'oprio. 



Questa definizione comprende come caso particolare quella del punto 

 improprio del n. 1. 



Def. II. Due punti dati (XX') , (YY') si dicono coincidenti se il 

 segmento (XY) diventa indefinitamente piccolo. 



Da ciò segue che tutti i segmenti determinati dai punti X e X' coi 

 punti Y e Y' diventano indefinitamente piccoli. 



Def. III. L' insieme delle rette proprie che si ottengono congiungendo 

 due punti propri (XX'), (YY') lo chiameremo retta impropria. 



E per segmento improprio dei due punti (XX'), (YY') intenderemo l' in- 

 sieme dei segmenti propri determinati dalle stesse due serie di punti (XX'), 

 (YY'). 



Se i punti (XX), (YY') determinano due punti propri L e M, la loro 

 retta impropria determina la l'etta propria LM. In tal caso i due punti im- 

 propri a cui danno luogo nella retta i punti L e M coincidono rispettiva- 

 mente coi punti (XX), (YY') (def. II). 



La eguaglianza e la diseguaglianza di due segmenti impropri si defini- 

 scono come precedentemente (def. V e VI, n. 1). 



(') I rimanenti postulati III, V, VITI, IX, XIII e XIV possono essere dimostrati 

 mediante i rimanenti, come dirò nell'appendice degli Elementi, e ammessi i postulati 

 I, II, IV, VI, VII e X in un campo C corrispondente al campo della nostra osserva- 

 zione, essi possono essere ammessi o dimostrati per tutto lo spazio S. 



