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Così si dimostrano in modo analogo le proposizioni a) b) c) ci) del n. 1 , 

 e ammesso che sia il postulato d' Archimede pei segmenti propri, lo si di- 

 mostra pei nuovi segmenti impropri, onde resta dimostrato che ogni segmento 

 improprio è divisibile in n parti eguali. 



Oltre a ciò si dimostrano i postulati IV, VI, VII e X sopra accennati. 



Per i punti impropri così stabiliti non è dunque necessario stabilire la 

 prop. A della continuità con un postulato, e si può svolgere la geometria 

 per essi come per i punti propri, senza bisogno di tener più conto della 

 distinzione fra punti propri e punti impropri. 



3. Ciò che precede non solo conduce a questo risultato ma anche a quello 

 che la prop. A applicata ai punti propri mediante un postulato (ip. VI e VIII 

 dei Fondamenti o post. XI degli Elementi) non può condurre ad alcuna contrad- 

 dizione, perchè essa equivale alla prop. d) che fu dimostrata pei punti impropri. 



La differenza sta solo in ciò: che colle ipotesi suddette o col postu- 

 lato XI degli Elementi imaginiamo intuitivamente che come ogni punto proprio 

 può essere considerato come un punto improprio, inversamente ogni punto 

 improprio determina \m punto proprio. Ma tale intuizione non ha alcuna con- 

 seguenza sullo svolgimento logico della geometria che è lo stesso tanto pei 

 punti impropri come pei punti propri pei quali si dà la prop. A senza dimo- 

 strazione. 



Passando poi dalla teoria alle applicazioni pratiche, non occorre dare 

 alcun postulato pratico, come abbiamo dovuto daaio per le tre dimensioni 

 dello spazio fisico e per il movimento senza deformazione, perchè ogni punto 

 improprio determina un punto nello spazio fisico, e quindi i risultati ottenuti 

 coi punti impropri si applicano senz' altro anche in questo spazio nei limiti 

 dell' osservazione. 



Un' ultima avvertenza. Il post. XI dei miei Elementi o la prop. A 

 accennata in principio di questa Nota ha il vantaggio rispetto all' ip. VI 

 e Vili dei Fondamenti di essere indipendente da qualunque considerazione sui 

 segmenti finiti, infiniti e infinitesimi, e di porre quindi tale questione sotto 

 un altro punto di vista. Dai post. I-X dei miei Elementi (di cui, come 

 dissi, alcuni sono conseguenza degli altri) non si può dimostrare il postulato 

 d'Archimede (post. XII). Ciò risulta sia dai Fondamenti, sia dai numeri 

 del sig. Levi-Civita ('). 



Costruita colla prop. II) una scala a partire da un' origine A sulla retta 

 con un segmento (AB) come unità, i segmenti (AC) maggiori di (AB) e compresi 

 nel campo della scala soddisfano rispetto ad (AB) il post, d' Archimede, e tali 

 segmenti li ho chiamati finiti. Per i segmenti (AC) minori di (AB) può esservi 

 0 non un numero n tale che 



(1) (AC)?2>(AB); 



(1) Atti del. E. Istituto Veneto, 1894. 



