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vi sono altri invarianti delle singolarità, i quali si presentano in altre que- 

 stioni, pure importanti. 



Limitiamoci, per brevità, alle curve piane: sebbene, come il lettore 

 vedrà, la considerazione seguente si possa subito estendere alle curve sghembe. 

 Prendiamo in un piano due rami parziali di una stessa curva algebrica, o 

 di due curve algebriche diverse, i quali abbiano la stessa origine 0 e la 

 stessa tangente t, ed abbiano inoltre con questa un contatto ugualmente ele- 

 vato, cioè ju -punto, 0 d' ordine n — 1, dove fi indichi un numero intero o 

 fratto, maggiore di 1. Assumendo coordinate cartesiane xy con 0 per origine 

 e t per asse delle lo sviluppo di y in serie di potenze di se sarà pel 

 1° ramo parziale 



Similmente, se si prende im altro sistema di coordinate cartesiane XY, 

 differente da quello solo pel cambiamento dell' asse delle y, si avrà pel 1° ramo 



Ora le formole che legano i due sistemi di coordinate siano : 



w=pY. qY 

 y = rY . 



Sostituendole nella (1), viene 



rY = ai^X + ^Y>"- + - ; 



e qui ponendo per Y in ambi i membri lo sviluppo (2), e poi confrontando 

 i termini simili, cioè con le stesse potenze di X, si hanno relazioni che pos- 

 sono servire a ricercare gl'invarianti sopra nominati. Limitandoci qui al con- 

 fronto dei termini piii bassi, cioè dei termini in Xt"-, otteniamo subito 



y — axV- -\ — , 



y' = dx^-\-- . 



Y' = A'XP- + - . 



Y = AX."- 4- - , 



A = a^-^. 



r 



Analogamente pel 2" ramo, dagli sviluppi (1') e (2') si trae 



A'r= 



a 



r 



Quindi 



A : A' = 



a : a 



Rendiconti. 1897, Voi. VI, 2° Sem. 



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