ossia: il rapporto a : a' relativo agli sviluppi (1) e (T) è indipendente dalle 

 coordinate (cioè dalla scelta dell'asse delle y). D'altra parte quel rapporto 

 ha un significato geometrico assai semplice : esso è il limite del rapporto y : y' 

 delle ordinate di due punti situati sui due rami e corrispondenti ad una 

 stessa ascissa a, quando questa diminuisca indefinitamente. Abbiamo dunque 

 il seguente risultato: se una trasversale condotta secondo una direzione as- 

 segnata {diversa da quella della tangente) taglia i due rami nei due 

 •punti P , P' e la tangente nel punto T , e la si fa variare in modo che 

 venga a passare per l' origine 0 dei rami, il rapporto dei segmenti TP , TP' 

 tende ad un limite ben determinato^ indipendente dalla direzione di quella 

 trasversale. 



Evidentemente il limite del rapporto TP : TP' è lo stesso che quello 

 del birapporto (MTP'P), ove M indichi un punto qualunque della trasversale, 

 il quale rimanga a distanza finita dai tre punti P , P' , T, infinitamente vicini 

 tra loro. Dunque: quel limite ^ indipendente dalla direzione della trasver- 

 sale, si può anche definire come il limite del birapporto (MTP'P), essendo 

 M un punto qualunque che rimanga ben distinto dall' origine 0 dei rami. 

 Di qui appare che: esso è un invariante , per trasformazioni proiettive, 

 del sistema dei due rami. 



Possiamo ancora dare allo stesso rapporto una forma metrica notevole. 

 Assumiamo per asse delle y la normale in 0 a ^ ; e consideriamo le cmTa- 

 ture dei due rami nei due punti P , P' corrispondenti ad una stessa x infi- 

 nitesima. Se facciamo i calcoli trascurando sempre gl'infinitesimi superiori, 

 possiamo anzitutto riguardare come uguali fra loro (e uguali ad x) gli archi infi- 

 nitesimi OP , OP' dei due rami. Quindi il rapporto delle curvature nominate, 

 in P , P', sarà uguale al rapporto degli angoli (di contingenza) delle tangenti ai 

 due rami in P , P' con la t. L' angolo che fa con t la tangente in P al 1" ramo 



si può sostituire con la propria tangente trigonometrica ^ , cioè, in causa 



della (1). con fxax''-~^ ; e similmente l' angolo di t colla tangente in P' al 

 2° ramo verrà uguale : onde il rapporto dei due angoli sarà a : a'. 



Dunque : la quantità invariabile per trasformasiani proiettive, a cui si 

 riferivano gli enunciati precedenti, è il limite al quale tende il rapporto 

 delle curvature dei due rami in due punti infinitamente vicini all' ori- 

 gine 0, situati su una stessa perpendicolare alla tangente t. — Le curvature 

 dei due rami in P , P' , cioè i.iax"-~^, i.ia'x^~'^, acquistano valore (limite) nullo 

 od infinito quando quei punti vengono in 0, se è ^ ^ 2 ; mentre se = 2 

 le curvature in 0 prendono i valori finiti fia,i-ia'. Nel caso di ijl = 2 l'in- 

 variante considerato si può definire brevemente come il rapporto delle cur- 

 vature dei due rami nella loro origine comune. 



2. Se son date una o più curve di un piano, passanti per 0, basterà 

 accoppiare in esse (ove esistano) rami parziali uscenti da 0, i quali facciano 



