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parte di cicli (o rami completi) diversi ('), ma abbiano comune la tangente 

 e r ordine di contatto con questa : formando per tutte queste coppie di rami 

 parziali i rapporti invarianti definiti nel n. 1 si otterranno degl'invarianti 

 relativi alle date curve ed alle singolarità che esse hanno in 0. 



Così se 0 è un ordinario punto di contatto per due curve, oppure è 

 .punto di contatto per due rami lineari (di 1° ordine e P classe) di una 

 stessa curva, otteniamo come invariante il rapporto delle curvature in 0 delle 

 due linee o dei due rami. La proposizione che stabilisce il carattere projet- 

 tivo di questo rapporto è dovuta, pare, al sig. Mehmke (-), ed anche al 

 sig. Wolf[ìng(3): quest'ultimo vi fu condotto da un'osservazione anterior- 

 mente fatta, e che citerò tosto, su un particolare punto di contatto di due 

 rami. — Prima però consideriamo, più in generale, una curva / avente in 0 

 un punto doppio con un' unica tangente t, e con due rami a contatto ,u-punto 

 con t, essendo /« un intero qualunque ^ 2. Assumendo ancora 0 come ori- 

 ■gine delle coordinate e t come asse delle l' espressione di /, ordinata se- 

 condo le potenze crescenti di ij, e (subordinatamente) di 



(3) f^iax'i'- + •••) + y{^xv- + -) + y\r + -) + - ; 



ove ay ={= 0, mentre /? potrà anche esser nulla. Gli sviluppi in serie che rap- 

 presentano i due rami saranno dati dalle (1) e (!'), ove a % a! son le ra- 

 dici dell' equazione in a 



« -f- /!?a + ya- = 0, 



Quindi l'invariante a : a' del n. 1 viene in questo caso ad esprimersi 

 mediante il rapporto : ay formato coi coefficienti di f\ e però anche questa 

 quantità §r : ny (la quale, diminuita di 2. darebbe la somma dell' invariante 

 primitivo col suo reciproco) sarà un invariante della curva /; il che si ve- 

 rifica anche direttamente trasformando la (3). 



Supponiamo ora che nella (3) sia ^ = 0: ciò si può interpretare geo- 

 metricamente dicendo che la curva P polare di un punto generico del piano 

 rispetto ad invece di avere in 0 con t incontro ^«-punto, ha incontro 

 più elevato. Da /S = 0 seguirà a : à = — 1. Dunque: una trasversale che 

 tagli t in un punto T infinitamente vicino ad 0 incontra i due rami in due 



(1) Due rami parziali di uno stesso ciclo non darebbero evidentemente nulla di utile: 

 l'invariante a: a' si ridurrebbe per essi ad una radice dell'unità. 



(2) Einige Sàtze iiber die ràumliche Collineation und Affinitàt, ivelche sich auf 

 die Krùmmung von Curven und Flàchen beziehen (Zeitschr. f. Math. u. Phys., t. 36, 1891). 

 Qui anzi la proposizione è data (fra molte altre della stessa natura) in generale per curve 

 sghembe. In una Nota successiva, dello stesso volume, essa viene estesa a trasformazioni 

 puntuali pili generali che quelle projettive. 



(3) Das Verhàltniss der Krummungsradien im Beruhrungspunkte zweier Curven 

 (Zeitschr. f. Math. u. Phys., t. 38, 1893). 



