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punti P , F infinitamente vicini ad 0, i quali sono equidistanti da 0 ; o, se 

 la trasversale è perpendicolare a t, sono simmetrici rispetto a t. Più breve- 

 mente: neir intorno di 0 i due rami sono disposti simmetricamente rispetto alla 

 tangente t. Oppure, sotto forma projettiva, profittando della rappresentazione 

 ài a : a! come birapporto (n. 1): nell'intorno di 0 i due rami si possono 

 riguardare come corrispondenti in un' omologia armonica di asse t e col centro 

 in un punto arbitrario esterno a t. 



Se è /.i = 2, r equazione (3), o, se si vuole, 



(4) /■=y2/' + yy2 + 9'4 + <f5 + - , 



dove le (p sono forme di x degli ordini indicati dai loro indici, rappre- 

 senta una curva che ha in generale in 0 un tacnodo ordinario, punto di con- 

 tatto di due rami completi di 1° ordine e P classe. La supposizione che 

 nella (3) sia = 0, cioè che manchi il termine in x'^y, sicché l' insieme 

 dei termini di 3° grado contenga il fattore ^/^ dà un particolare tacnodo, che 

 si può chiamare tacnodo armonico o tacnodo simmetrico. Quest' ultima de- 

 nominazione è usata dal sig. Wolffing, il quale s' è imbattuto in questa sin- 

 golarità, nello studio del covariante Hessiano, rilevando che : mentre un tacnodo 

 ordinario di una curva / è triplo per la Hessiana di /, un tacnodo nel quale 

 le due curvature siano uguali e opposte è quadruplo per la Hessiana 

 Avvertiamo, di passaggio, che ha luogo la seguente proposizione più gene- 

 rale (2) : Se una curva f ha in 0 un "punto s-plo colf unica tangente i, la 

 sua Hessiana, la quale avrebbe in generale in 0 multiflicità 3s — 3, avrà 

 invece una multiplicità maggiore solo quando nelV equazione di f riferita 

 ad 0 come origine e a t come asse tj = 0 manchino tutti quei termini di 

 grado 5 -j- 1 che non contengono il fattore ; vale a dire quando la po- 

 lare d' ordine s di 0 rispetto ad f contiene la retta t contata s volte 

 [cioè ha un punto {s-\- l)-plo PJ; ossia quando 0 è punto {s -\- \)-plo per 

 una P polare di /" [la P polare del punto P ora nominato] {^). 



Ritornando al tacnodo simmetrico, per esso si hanno, in quest'ultimo 

 enunciato, ponendo s = 2, le seguenti proprietà caratteristiche : che la cu- 

 bica polare del punto stesso si spezza nella tangente contata due volte ed 

 un" altra retta ; o che il tacnodo simmetrico è un punto doppio per / e triplo 

 per una certa P polare. Converrà ricordare anche l'interpretazione già accen- 

 nata della condizione /S = 0, vale a dire : mentre un tacnodo ordinario è sem- 



(') Wolffing, Ueber die Resse' sche Covariante einer ganzen rationalen Function 

 von ternàren Formen (Math. Annalen, t. 36, 1889-90), pag. 119. 



(*) La si può trovare, ad esempio, in un mio lavoro che comparirà in un prossimo 

 fascicolo del Giornale di Battaglini. 



(3) Sotto r ultima forma questo teorema è contenuto in quello con cui finisce la Me- 

 moria del sig. E. Kotter, Die Resse' sche Curve in rein geometrischer Behandlung (Math. 

 Ann., t. 34, 1888-89). 



