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plice punto di contatto per la rete delle P polari, un tacnodo simmetrico 0 

 di / è punto d' inflessione con la tangente fissa t per la rete delle P polari. 

 Ed aggiungiamo ancora che : se 0 è un tacnodo ordinario con la tangente 

 la P polare di un punto generico di ^ ha 0 per punto doppio con una tan- 

 gente in t\ mentre se 0 è un tacnodo simmetrico, entrambe le tangenti in 

 esso alla 1=^ polare di un punto generico di t cadono in t. 



3. I tacnodi simmetrici delle curve piane si presentano nello studio 

 della linea parabolica di una superficie. Si ha cioè il seguente teorema : 

 Affinchè un punto semplice di una superficie algebrica F sia doppio per 

 la linea parabolica, è necessario e sufificiente che per la curva intersezione 

 di F col piano tangente nel punto questo sia un tacnodo simmetrico , oppure 

 sia un punto triplo. 



Sia in fatti 0 un punto semplice di F, situato nella superficie Hessiana, 

 e quindi sulla linea parabolica di F ; in modo che il piano n tangente in 0 

 ad F seghi questa secondo una curva f avente in 0 un punto doppio (non 

 triplo) con un' unica tangente t (tangente principale di F). Nel piano n la 

 traccia del piano tangente in 0 alla Hessiana, cioè la tangente in 0 alla linea 

 parabolica di F, sarà, com' è noto, quella retta t' la quale con t separa armoni- 

 camente tutte le coppie di tangenti in 0 alle prime polari dei punti di t ri- 

 spetto ad /; 0, ciò che è lo stesso, la congiungente di 0 all' unico flesso 

 (diverso da questo punto) della cubica polare di 0 rispetto ad / ('). Nel 

 caso ordinario, in cui 0 è una cuspide di 1* specie per f, la retta t' è ben 

 determinata e diversa da t. Se poi 0 è per / un tacnodo ordinario, la tan- 

 gente t' alla linea parabolica coincide colla tangente principale t : perchè allora 

 la prima polare di un punto di t rispetto ad / ha in 0 come una tangente 

 la t. La retta t' diverrà indeterminata solo quando in t cadono entrambe le 

 tangenti in 0 alla P polare di un punto generico di t rispetto ad f: ossia 

 (v. la fine del n. 2) quando 0 è per / un tacnodo armonico. In questo caso 

 dunque il piano tangente in 0 all' Hessiana coincide con tt, vale a dire la 

 curva parabolica di F ha in 0 un punto doppio. 



Si può ottenere un teorema più generale col seguente calcolo, già ini- 

 ziato dal sig. Rohn (-). Si prenda come origine il punto 0, semplice per la 

 superficie F, e come piano ^ = 0 il piano tangente ad F in 0 ; e suppon- 

 gasi che questo piano intersechi F secondo una curva avente in 0 un punto 

 s-plo (s^2). Si potrà porre 



F = (a, + a,^, + ••■) 4- z{\ + ^1 + •••) + 2\r, + n + •••) + 



(') Si trova questa proposizione (enunciata nel 2° modo) a pag. 21 della Memoria 

 di Clebsch: Zur Theorie der algebraischen Flàchen, 1863 (Creile J., t. 63). V. anche le 

 dimostrazioni più geometriche dei sig. Cremona e Sturm nelle loro Memorie premiate sulla 

 teoria delle superficie cubiche ; ed una proposizione pivi generale alla fine di questa Nota. 



(2) A pag. 102 dello scritto: Das Verhalten der Hesse' schen Flàche in den viel- 

 fachen Punkten und vielfachen Curven einer gegehenen Flàche (Math. Ann., t. 23, 1883-84). 



