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ove le o , /? , ... sono forme di x e y degli ordini (crescenti) indicati dai 

 loro indici. Formiamo il determinante Hessiano di F e sviluppiamolo, ordi- 

 nandolo, come F, secondo le potenze ascendenti di e, subordinatamente, 

 secondo gli ordini nella coppia di variabili x ,y. Si trova, se n è V ordine 

 di F, il prodotto di — {n — 1)^ per 



H = {(P2S-4 + y2s-3 + •■•) + + ^s-i + ••■) + ^%7o + Zi + •••) + -• , 



dove le (p ,xli , ... sono forme dì x & y degli ordini indicati dai loro in- 

 dici. E precisamente si vede (come già osservò il sig. Kohn) che 9:25-4 è la 

 forma Hessiana binaria di a^; e che (qui c'importa aggiungere) 9^25-3 ha la 

 seguente espressione : 



o ^ ^ J I n 22 I 22 11 n 12 12 



dove gli apici superiori 1 , 2 indicano derivazioni rispetto ad x , y. Quindi 

 se (pìs-i s' annulla identicamente, pel fatto che, ad esempio, «s = y\ rimane 



9)2,_3 = .<s — l)y^-^«", ; 



e però (fts-z s' annullerà anch' essa solo quando «s+i sia del 1° grado rispetto 

 ad X. Premesso ciò, e venendo alla curva parabolica di F, osserviamo che 

 essa è l' intersezione di due superficie ; l' una delle quali, F, ha in 0 un 

 punto semplice, col piano tangente = 0 che dà una sezione f avente 0 

 s-plo ; mentre l' altra, H, è tale che in essa la a prima potenza è molti- 

 plicata per forme dì x ,y di ordini >. s — 2 , e che il piano ^ = 0 la sega 

 secondo una curva /' avente in 0 multiplicità s ~2s — 4 , 2s — 3 , 25 — 2, ... 

 a seconda dei casi. Orbene da queste condizioni in cui si trovano le due su- 

 perficie è permesso conchiudere che nei tre casi s' = 2s — 4 , s' = 2s — 3 , 

 s' = 2.8 — 2 il numero s' dà la multiplicità in 0 della linea d' intersezione, 

 e che nei primi due casi le tangenti in 0 a questa sono le tangenti in 0 

 ad f (^). Applicando anche le osservazioni precedenti otteniamo dunque i 

 seguenti risultati. 1°) Se le s tangenti principali di F in 0 non coinci- 

 dono tutte in una^ la linea parabolica ha in 0 multiplicità 2s — 4 e per 

 tangenti l' Remano binario del gruppo di quelle s tangenti principali 

 (Rohn, loc. cit.). 2°) Se le s tangenti principali di F in 0 coincidono in 

 una retta t, la linea parabolica ha in generale in 0 multiplicità 2s — 3 

 e per tangenti: la retta t contata s — 2 volte^ e le s — 1 rette costituenti 



(') Ciò si dimostra segando con un piano qualunque passante per 0, e in partico- 

 lare con un piano passante per una di quelle tangenti di e calcolando la multiplicità 

 d'intersezione in 0 delle sezioni fatte da quel piano nelle due superficie. Cfr. il n. 12 

 della mia Memoria già citata del Giornale di Battaglini. 



