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Matematica. — Sopra alcuni Inoarìantl puntuali delle equa- 

 zioni alle derivate 'parziali del secondo ordine. Nota del dott. P. 

 Medolaghi, presentata dal Socio V. Cerruti. 



Gli invarianti puntuali per le equazioni alle derivate parziali del secondo 

 ordine si determinano (') nel modo seguente: si estende la trasformazione 



infinitesima generica : 



(1) Sx =■ ci[xijz) ót à// = ^(x//:) ót Ss = Y{xys)èt 



alle derivate p ,q ,r ,s , t , cioè si calcolano le variazioni óp ,òq^ór. Ss , dt ; 

 nelle espressioni che così si ottengono entrano, oltre x ,y ,s , le quantità 



Imaginiamo ora di avere la equazione alle derivate parziali del secondo 

 ordine sotto la forma: 



r — Y{x y 3 '[) q s /) = <); 



per comodo conveniamo di rappresentare le derivate con indici in basso, 

 cioè poniamo: 



^ X 1 •••• , ^ t 1 •••• 



llX l)t 



Si calcolano ó'F.^ , ... ó'Ft , osservando che 



ódF = dóV , 



quindi: 



dóV = F,,ódx-\ h F« ^(ii + ^^cc -dx-i 1- ÓF, . di . 



da cui: 



c^F. = ^-P.,.^" F.:^ 



(2) 



,F, = ^_F,,:^' 



Così si ottengono le espressioni di óF^; ... àF^ in funzione di x ,y , ^ ,p , q , 

 P , s , ^ , , ... F( . Bisognerebbe poi formarsi le espressioni sempre più com- 

 plicate di àFax ••• '^Fu , (^P^aa- , ••• huo al punto in cui il numero delle va- 

 riazioni calcolate supera il numero delle derivate di che si vengono 

 col calcolo introducendo. Ciò avviene, come si riconosce subito, per le deri- 

 vate terze della P ; il calcolo, anche degli invarianti più semplici, si pre- 



Ci) Lie, Ueber Differentialinvarianten. Math. Ann. Bel. 24. 



