— 248 — 



senta dunque molto complicato; questa forse è la ragione per cui nessuno 

 si è accinto ad esso. 



Più semplice assai del problema generale è questa ricerca più limitata : 



determinare gli invarianti che contengono soltanto le derivate di P 

 rispetto set. 



In questa Nota ed in quelle che la seguiranno mi propongo appunto di 

 studiare questa classe di invarianti. 

 1. Partendo dalle relazioni 



dx = pdx -\- q dy 

 dp =rdx-\- s dy 

 dq — s dx -\- t dy 



che devono rimanere invarianti, e con le regole del calcolo delle variazioni, 

 si determinano le variazioni ài jj , q , r , s , t per la trasformazione (1). Po- 

 nendo, se / è una funzione di x ,y ,z : 



(f) 4- 



Vi V 



- + ^J> -Ì-P + r 



si trova ('): 



(3) ) d¥=:dr=r. (y^,.) — p{a^,) — q{§,,) — 2F.(«^) — 2 5 



J Ss= — p {a,,^ — q — F {ay) — s {^y) — S (a^) — t (^^) 



( = — P [ayy) — ^ (/^J;,,) — 2 S («J,) — 2 ^ (/Sy) . 



Poiché dunque nelle espressioni di dx ,óy , ds , óp , (^(/ , non entrano le 

 quantità F , s , / , si ha dalle (2) : 



aF.^^-F.^-F.^^ 



(1) Nelle espressioni delle variazioni ometto cV ora in poi, per brevità di scrittura, il 

 fattore costante ót, non portando ciò nessun inconveniente — anzi facendone evitai'e. 



