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Poniamo ora : 



(«?y) = mi , (/S^) = m2 , {(ìy) — («^) =^ W3 , 2(^y) — ^ H-i^ ~ + 'i ^ = W4 ; 



essendo a , ^ ,y , funzioni interamente arbitrarie, le mi , , , , sono 

 anche esse quantità arbitrarie. Nelle variazioni che abbiamo fin qui calco- 

 late entrano d'altra parte soltanto le dette quantità arbitrarie; se fosse 



9)(F,,F,,F,,, F,,,F„) 



un invariante, dovrebbe dunque essere = 0 qualunque siano mi,mi,m?,, Mì. 

 Esprimiamo questa condizione: 



Ponendo per óF^ , òFt , •■■ le loro espressioni ed eguagliando a zero 

 i coefficienti di nii ... , si hanno le quattro condizioni seguenti per (p : 



0 = X,(^) = (F! + 2F,) ^ + P, F, + (3F, F,. + 4F,) + 

 + (2F, F,, + 2F„ + F,, F.) ^ + (F, F„ + 2F,. F,) ^ 



Queste rappresentano anche le condizioni sufficienti perchè sia (p un in- 

 variante. In altre parole: un invariante si determina integrando il sistema 

 completo (5) di quattro equazioni in cinque variabili. 



Alla equazione Xi/ = 0 si può sostituire la equazione: 



Y/= X,/'+ F, X2/- P, X3/- F, X4/= 0 . 



Si ha: 



Y/- = (F, F,, + 2F,,) + (Fu + P. F.) ^ + (2F. P.. - F, F„) 



■ Le soluzioni di questa equazione si determinano facilmente; esse sono: 



Ps , P( 7 = F« Fss — Fs F.s( — Fh , = F^t — F.ss F» ; 



