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le soluzioni comuni di Y/ = 0 ed X4/ = 0 sono : 



r- F, — • 



le soluzioni comuni ad Y/=0 , X4/=0 , Xs/'—O sono: 



e finalmente la soluzione del sistema (5) è: 

 ossia, ponendo: 



£^2 - FI + 4F, 



(6) A=.^ 



Dunque : 



• r invariante puntuale piii. sem])lice 'p&^ le equazioni alle derivate 

 parziali del secondo ordine è la espressione : 



(Fi + 4F,)(F;,-F,,F») 

 (F,F,, — F,F,,-F»r- • 



2. In questa Nota mi fermerò a studiare l' invariante A, ed i polinomi 

 che entrano nella sua formazione. 



Dirò peso di una derivata di F il numero degli indici s, aumentato 

 del doppio del numero degli indici /; così ì\ è di peso uno, F« di peso 

 due. 



Dirò poi peso di im prodotto di derivate la somma dei singoli pesi; 

 peso di un quoziente la differenza dei pesi. Se in un polinomio tutti i ter- 

 mini sono di egual peso, questo peso comune si dirà peso del polinomio. 

 Così i polinomi: 



F,? + 4F, , F,F,,-F.,F,,-F„ , Fu 



sono rispettivamente di peso due, quattro, sei. L' invariante A è di peso zero. 

 Il polinomio = F^ -|- éFt è un invariante relativo. Si ha infatti : 



óm. = 2F, ÓFs + 4JF, = (2Fs -j- 2w,) roo ; 



la equazione = 0 è dunque invariante per tutte le trasformazioni pun- 

 tuali; essa ha un significato geometrico ben conosciuto: essa esprime che i 

 due sistemi di caratteristiche coincidono su ogni superfìcie integrale. 



