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Anche i polinomi: 



= P, — P, P,,, — P„ ■ 



f^u = — Fss F<( 



sono invarianti relativi. Si ha infatti : 



òxj5^ ~ (3Ps mx -\- 2^3 -|- (js^ 

 = (4Ps nii -\- 2w3 -\- 2mi) c<Jc 



Il sistema di equazioni: 



CfT^ = 0 CFSo = 0 



è invariante; cioè ogni equazione per cui sia nello stesso tempo: 



(7) Y% — l\s Fa = 0 P, F,, - F, P,, — F„ = 0 



è cambiata da ogni trasformazione puntuale in una equazione della stessa 

 classe. Si interpretano facilmente le condizioni (7). 



Tra le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine che hanno con 

 una equazione del primo ordine infinite superficie integrali in comune, non 

 dipendenti soltanto da un numero finito di costanti arbitrarie, vi è una ca- 

 tegoria caratterizzata da questa proprietà (•) : se è f{xy s pq rst) = 0 una 

 equazione di quella categoria esiste ima funzione (s{xyspq) tale che sia 

 identicamente : 



Immaginando portata la equazione alle derivate parziali sotto la forma 

 r — ¥{w y spqst) ~ 0-, la condizione precedente diventa : 



(8) -I- p, _ 1 p, = 0 . 

 Derivando la (8) rispetto s , ^ , si hanno le condizioni : 



(9) p„_lp,, = 0 P,,— ^P„ = 0 

 dalle quali, eliminando e, si ottiene: 



m, = p:^, — F,,p,,= o. 



Combinando la (8) con ìe (9) si ha poi: 



^4 = P,; — Pss P( -\- P, Pjj — 0 ; 



(') Sonin, Ueber die Integr. der part. Differentialgleichungen. 2. 0. Math. Ann., 

 Bd. 49, pag. 424. Memoria tradotta in tedesco dal russo dal prof. F. Engel. 



