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le equazioni di cui si occupa il § 6a della Memoria di Sonin appartengono 

 dunque tutte alla classe invariante 054 = 0 m^i = 0. 



Inversamente, se per una equazione è as^ — 0 , ^^ = 0 si può porre : 



(9') P,« = iuF„ F,,=r.,aF,j; 



se fosse ,a = 0 sarebbe anche F^t = 0 F^s = 0 e per la 0^4 = 0 anche F((=0; 

 se fosse F.-s nulla, anche le altre due derivate Fst , Fj{, lo sarebbero. Se fosse 

 =1= 0 , ed ima delle F^j , F« nulla, anche l' altra è nulla, e per la ^54 = 0 

 anche F( = 0. 



Supponiamo dunque che sia: 



4 0 , F,, 4. 0 , F,, =^ 0 , F„ H= 0 ; 

 dalle (9') combinate con ìts^ = 0, si ottiene la relazione : 



— — /xF, + P,=-0 

 derivando rispetto s ,t , e tenendo conto delle (9'), si ha : 



da cui: 



e per la ^4 — - 0 



2 



F., = - — 



Ne segue che è 4F( -|- Ff = 0 . Il calcolo precedente è in difetto sola- 

 mente quando ^ è ima funzione delle sole xyspq, nel qual caso la equa- 

 zione considerata appartiene alla categoria del § Qa nella Memoria di Sonin. 

 Dunque : 



Le equasioni alle derivate parziali per cui è contemporaneamente : 



formano ma classe invariante per tutte le trasformazioni puntuali: esse 

 hanno V una 0 l' altra delle proprietà seguenti : 



1) 0 sono lineari rispetto le derivate seconde ; 



2) 0 sono della forma'. 



r — F(^ tj 3pqs) — Q \ 



"ò) 0 hanno i due sistemi di caratteristiche coincidenti su ogni su- 

 perficie integrale:, 



