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la temperatura a brevi intervalli di tempo. Dai valori così ottenuti si può 

 facilmente dedurre il coefficiente voluto. 



Evidentemente la teoria acquisterà la più grande semplicità possibile, 

 se alla sostanza si darà la forma di un cubo, se la temperatura iniziale 

 sarà uguale per tutti i punti di esso e se il movimento di calore si pro- 

 durrà uniformemente variando d' un tratto e mantenendo poi costante, la tem- 

 peratura di tutte le superfìci. In questo modo si giungerà ad una tempera- 

 tura stazionaria identica per tutti i punti del cubo. 



Poniamo nel centro di un cubo un sistema di coordinate rettangolari 

 X ,y ,2 così disposte che gli assi siano perpendicolari alle superfìci del cubo. 

 Sia U la temperatura iniziale ed assumiamo come zero quella finale; rap- 

 presentiamo rispettivamente con k , c , q i coefficienti di conducibilità, di ca- 

 lore specifico e di densità della sostanza; la relazione fra la temperatura u, 

 il tempo i e \q coordinate x ,y , s è secondo Fourier (') 



C-n- — t -n^ — t ~\ 



AiCos{nìX)e "'«p cos(n.2x) e "-cp -|- . . . . 



Bi cos(«i j/) cp -}- cos(;?2y) cp -]-••.■ 



L-ra' — J -n- —t ~1 



Ci cos {ìli s) e cp -}- Ca cos («2 s) e cp -[-•■•• 



Dalla condizione che la temperatura delle superfìci sia zero per tutti 1 

 tempi, si deducono per le costanti n i seguenti valori: 



71 2tt Stt 4/T 5/T 



2a 2a 2a 2a 2a 



ove 2a è la dimensione del lato del cubo. 



Le costanti arbitrarie Ai , A2 . . . . Bi , Bj . . . . Ci , C2 . . . . devono es- 

 sere determinate in modo che la soluzione soddisfi alla condizione iniziale, 

 mentre le ni .n^ . . . . lo devono essere in modo che siano soddisfatte le con- 

 dizioni delle superfìci. Nel caso speciale che noi consideriamo la soluzione 

 generale di Fourier si semplifica molto. Infatti, siccome in principio la tem- 

 peratura è uguale in tutti i punti del cubo e le variazioni sulle superfici 

 avvengono contemporaneamente ed uniformemente, le superfici isotermiche 

 sono sempre simmetriche per rapporto agli assi delle coordinate e quindi i 

 coefficienti di indice pari , A4 . . . . , B2 , B4 . . . . , C2 , C4 . . . . devono es- 

 sere identicamente uguali a zero. 



Trascorso un certo tempo dal principio dell' esperienza, si potrà ammet- 

 tere che i termini di indice superiore al tre siano divenuti trascurabili ri- 



(') Fourier, Théorie analitique de la chaleur, chap. Vili. 



