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Ora sia H un iperpiano qualsiasi (cioè non normale a V), il quale, al 

 pari del precedente iperpiano normale, contenga gli assi Ox^i , Ox'2 , ... , OjJh-ì- 

 Per calcolare, col mezzo della (6), la curvatura che lia in 0 la sezione di V 

 con H, assumiamo entro H come assi gli assi primitivi 0^, , ... , Ox,i-ì ed 

 inoltre la normale h condotta per 0 in H allo spazio S.,_2 determinato dagli 

 assi precedenti. Ciò equivale ad eseguire una trasformazione di coordinate, 

 mantenendo invariata 1' origine e gì' iperpiani .Ti = 0 , ... , a;„-2 — 0, e cam- 

 biando ^„_i — 0 ed ^„ = 0 colle formole : 



dove yn-i ~ 0 rappresenta l' iperpiano H, ed ?/„ = 0 1' iperpiano normale ad h 

 in 0. Sostituendo in (7) e ponendo poi yn-\ = 0 , si ottiene come equazione 

 della sezione di V con H (entro H) la seguente : 



2 7)y„ = 2! + ■■■ (« , y = 1 , 2 , ... , ti — 2). 



Epperò, per la (6) e la (8), la curvatura R, di tale sezione in 0 è data da : 



Ma è il coseno dell' angolo formato dagli iperpiani ^„ = 0 , y,, ~ 0, 

 ossia dell' angolo (f formato dall' iperpiano H coli' iperpiano Xn-\ = 0 ; quindi 

 la formola precedente diviene: 



R R_ 



COS"^ (f 



Pertanto: Data in S„ una varietà ad n — 1 dimensioni, la curvatura 

 (di Kronecker) in un punto di una sua sezione iperpiana qualsiasi è uguale 

 alla curvatura della sezione iperf iana normale avente la medesima traccia 

 suW iperpiano tangente in quel punto, divisa per la {n — 2,)""^ potenza del 

 coseno dell'angolo formato dai due iperpiani secanti. 



3. Il teorema precedente si può dimostrare anche senza fare speciali 

 ipotesi sulla posizione degli iperpiani coordinati, cioè partendo dall' equazione 

 generale (3) della varietà V. In tale dimostrazione — di cui la prima parte 

 si basa sopra un concetto analogo a quello cui s' informa la prima parte della 

 dimostrazione data dal sig. Killing al 1. e, n, 116 — faremo uso dei sim- 

 boli definiti al n. 1. 



Siano Xo ,Xi , ... , Xn le coordinate del punto x fissato su V, e , ^, ... , 

 quelle del punto corrente z d' un iperpiano arbitrario Z passante per x. Sce- 

 gliendo delle quantità che soddisfacciano alle relazioni : 



k'^ a% + «a H \-al,, = l, 



k^ ttiQ Xq -\- an X\ -\- ••■ ~j— ain x,i =^ 0 , 



k^ aio ajo + au aji -\ \- ain aj,, = 0 



(i >y , ^ >./ =-1,2...,;?— 1), 



