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dente affinchè, presrq'ìposta l' integrabilità di f(x. e f{:c. j/o). sia per 

 ogni X 



(1) I f{,c, yo) d:i' = ìim. I /'{.v, ys)dx 



è che 



f{:c, ys) dx = <^{x, yo) 



„.. ' „ 



lim 



.'/s = ?/u a 



esiste j per ogni x , finita e continua. 



Su questo enunciato abbiamo da fare alcune osservazioni. 



Anzitutto è da distinguersi il caso in cui è, per ogni x e per ogni ?/., , 



I f{x^ y.) I <L 



L essendo finito, da quello in cui ciò non è. 



Alla prima lettura delle due proposizioni sopra richiamate può apparire 

 che per riconoscere se è giusta la (1) occorre un doppio esame: quello della 

 integrabilità della f{x, yo) e l'altro della continuità di fP{x, yo). 



Ora è importante mettere in evidenza questo, che, nel caso in cui è 

 sempre 



\rix.ys)\<L 



il secondo esame è superfluo: giacché come è mostrato al n". 2 della Nota 

 medesima, Sidl' integrasione per serie, presupposta l' integrabilità di f\x , yo) , 

 si ha anche sempre 



J'fl? rx 

 fyx, yo)dx— lim. f{x, ys) dx 



dimodoché, se si fa 



s 



f{x, y,)=y Un {x) 



1 



00 



f{x. yo) = y_ Un (x) 

 l 



si può enunciare : se ognuna delle Ui (x) , Uz (x) , .... è integrabile ed èj 

 per ogni x e per ogni s 



X ^« {^) 



affinchè si abbia 



] ^ Un {x) . dx ] y-n {x) dx 



Kendiconti. 1897, Voi. VI, 2" Sem. 



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