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Matematica. — Nuove ricerche sopra alcuni invarianti pun- 

 tuali delle equazioni alle derivate parlali del secondo ordine. 

 Nota del dott. P. Medolaghi, presentata dal Socio V. Cerruti. 



Alla ricerca degli invarianti di ordine superiore farò precedere alcune 

 considerazioni generali. 



Ai simboli F'"^ , , Ff conserviamo il significato che hanno in una 

 mia Nota precedente (^). Si ha: 



(1) 



JFf ^ + {m, F, + W4 - ms) Ff + 2m, Ff ' 



JF* = ^ + (m. F, + m,) Ff + m, Ff ' . 



Nelle variazioni delle derivate di un ordine qualunque non entrano dunque 

 che le arbitrarie mi , m2 , ms . m^: e la ricerca degli invarianti di un ordine 

 determinato conduce sempre alla integrazione di un sistema completo di quattro 

 equazioni. Il numero degli invarianti di ordine = k è dunque : 



i4-4 + --- + ^ + (/^+i)=^ ^^~^y"^ + i- 



Dalle formole (1) si può ricavare una curiosa proprietà degli invarianti. 

 Cominciamo a supporre che sia: 



in cui a , /5 sono costanti, ed i termini omessi non contengono che , W2 . 

 Allora sarà: 



JFf ) = [(a — 1) + (/? + 1) m,-] Ff ' + •- 

 JFp' = [(«Ws + (/5 + 1) m,] Fr> + - 



Supponiamo ancora che « + 2/? sia il peso di F"" ; allora le quantità 

 analoghe formate per Ff , F^^' sono eguali ai rispettivi pesi. Per le varia- 

 zioni delle derivate prime e seconde hanno luogo tutte queste proprietà ; esse 

 dunque si verificano anche per le derivate di ordine superiore. Ciò posto, due 

 delle equazioni a cui devono soddisfare gli invarianti sono: 



X3/= E., ^ + 2 F, ^ + F,.^ + 2 P., ^ + ... + ^ + ... 



P) V. Rendiconti di questa Accademia, voi. VI, serie 5^, 2° sem , pagg. 247-254. 



