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parametri si ottengono del resto combinando le operazioni J)s{(p) , Così, 

 per esempio, come parametri del secondo ordine possiamo assumere i seguenti : 



D,]D,(y)|, D,SD,(9.)(, Dj|D,(g))[. 

 cho indicheremo rispettivamente con : 



^ Applicando i parametri Ds(y),D«(^) all'invariante A si ottengono due 

 invarianti del terzo ordine ; di questi ve ne sono quattro indipendenti : ne 

 restano dunque a determinare ancora due. Per ottenerli, cominciamo col cal- 

 colare le variazioni delle derivate terze di F ; e col costruire il sistema com- 

 pleto di quattro equazioni tra 



s ) -e J 1 J ss , -c st , -C « , -E SSS 5 -e sst s« » -c 



ut 



da cui dipende la determinazione degli invarianti. 



Indicheremo con X/ = 0 la equazione ottenuta esprimendo che deve 

 annullarsi il coefficiente di . Come nella Nota sopraindicata, alla equa- 

 zione Xi/'=0 si sostituirà la T/= X,/-]- Ff X^/— X3/— X4/= 0 , 

 e si ha allora : 



Y/'=(2P,F.,+4F,0:^ + (2P« + 2P, F,.) ^ + (4F,F,,- 2F,P„)^ + 

 + (3P, P,, + 3PL + 6Fsst) + (F, P,,, + 3P,, P,, + 4P,„ + 2P, P,,,) + 



t'-C SSS sst 



+ (2P„, - F, F,„ + 4F, P,,, + 2P^, + F,, F„) + 



d-f set 



+ (6P, P,„ + 3P„ P,t - 3F, Fut) ^ = 0 . 



O-C tu 



Di questa equazione si conoscono già le soluzioni Pj , P{ , C54 , cfjg ; biso- 

 gnerebbe determinare le altre quattro soluzioni. Ecco però un artificio che 

 conduce più presto agli invarianti cercati. 



Poniamo : 



= Pstt -|- PssJ — Pj P^ss 



V = Fut + Ps Pstt — Pt Fsst . 



Allora : 



T(,u) = P„(i + 2v + 2oTs — 3Fss^, 

 Y{v) = 2F,u — Fsv — F,c5s — 3F,,c54 



osserviamo ora che T(Fss) , Y(Ps() si possono esprimere in funzione di P^s , P^t 

 e di soluzioni della Yf=0. Vi sono dunque tre invarianti di Yf = 0 che 

 sono delle funzioni soltanto di P^s , Fsi , |W , r oltre che delle Ps , Pj , ^4 , . 

 Appunto questi invarianti voglio ora determinare. 



