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Gli invarianti B , C sono effettivamente del terzo ordine ed indipendenti tra 

 loro. Resta però a dimostrare che essi sono distinti dagli invarianti Ds(A) , Df(A). 



Negli invarianti B , C le derivate del terzo ordine non compariscono che 

 nelle combinazioni 2/3,2/4, 0, ciò che è lo stesso, nelle combinazioni : 



ma si ha appunto: 



1' -r ^6 ; 



,u = — — , r otTs = — 



dunque in B , C le derivate del terzo ordine non compariscono che nelle com- 

 binazioni , . Nelle Ds(A) . Dj(A) , esse compariscono invece nelle 



, . . . Tìf^i 'i>^4 'ì>^6 ì*^6 o- 1 



combinazioni , — - , , . bi ha ora : 



lis l)t l)t 



D[B,C,D,(A),D,(A)] _ 



„ r" ^tg4 "ì)^4 l^^S "i)f^6 "1 



_ D[B , C , D,(A) , D^A)] L ' ' ' . 



il secondo fattore del secondo membro è diverso da zero, pel primo fattore si ha : 

 D[B,C,D,(A),D,(A)] ^ D[B , C] D[D,(A) , D,(A)] , 



poiché ognuno dei fattori del secondo membro è effettivamente diverso da zero, 

 gli invarianti B , C , Ds(A) , Dj(A) , sono indipendenti tra loro. 



Applicando una volta i parametri differenziali J)s{(f) , I>i{(p) agli inva- 

 rianti B , C , Ds(A) , D((A) , si formano tutti gli invarianti del quarto ordine; 

 e così procedendo si formano tutti gli invarianti di ordine superiore. Il pro- 

 blema che mi ero proposto al principio della Nota già citata, la determina- 

 zione cioè degli invarianti puntuali che contengono soltanto le derivate di F 

 rispetto s e ^ , si può considerare come completamente risoluto. 



Una ricerca analoga a questa si potrebbe istituire prendendo a fonda- 

 mento il grappo delle trasformazioni di contatto. La determinazione degli in- 

 varianti di ordine k dipenderebbe in questo caso da un sistema completo di 

 sette equazioni: vi sono dunque due invarianti di terzo ordine, cinque del 

 quarto ordine , ... h-\-l dell' ordine h. Delle sette equazioni che definiscono 

 gli invarianti, quattro sono appunto quelle da cui dipende la determinazione 

 degli invarianti puntuali : ne segue che noi possiamo approfittare della ricerca 

 già istituita per questi ultimi invarianti, onde giungere più presto alla inte- 

 grazione delle sette equazioni. Ne segue anche che sussiste per gli invarianti 

 rispetto alle trasformazioni di contatto la proprietà di essere di peso zero. 



Rendiconti. 1897, Voi. VI, 2" Sem. 41 



