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Io mi propongo qui di constatare la sostanziale diversità geometrica fra 

 questo, che io chiamo spazio di Ricci ('), e gli spazi di Riemann e di Lo- 

 batschewsky. 11 punto saliente di tale diversità sta, a mio avviso, in ciò che 

 mentre questi ultimi non sono deformabili, cioè sono solo suscettibili di moti 

 rigidi nello spazio piano a quattro dimensioni che li contiene, avviene il contrario 

 del primo, il quale ammette tante configurazioni, quante ne ammette nello 

 spazio euclideo la sfera a due dimensioni ; essendovi anzi corrispondenza uni- 

 voca e reciproca fra ciascuna configurazione dell" uno e ciascuna dell" altra. 

 Di ciò mi occupo nei primi sette paragrafi. Neil' ottavo stabilisco una esten- 

 sione di queste proprietà ad un' altra classe di superficie eh' io ebbi occasione 

 di studiare nella Memoria citata. 



Meriterebbe di mettere in rilievo l' interesse che possono avere queste 

 considerazioni sul problema, tanto importante e tanto poco studiato, della 

 deformazione della sfera; ma ciò, che oltrepasserebbe i limiti e lo scopo di 

 questo, spero poter fare in altro lavoro. 



I. 



La deformabilità degli spazi di Riemann e di Lobatschewsky. 



§ 2. Affinchè una forma differenziale quadratica 



3 



O) — y ars dxr dscs 



a discriminante \a\ positivo, possa rappresentare l'elemento lineare 'di una 

 varietà a tre dimensioni immersa nello spazio piano a quattro dimensioni, 

 si richiede e basta che esista una seconda forma 



3 



Ip =Y brs dXr dXs 

 —rs 



i cui coefficienti soddisfino alle equazioni algebriche 



(A) \^\ • tt'*"*^ = by+i s+l br+i s+2 — br+\ s+2 br+ì s+l (^)- 



(1) Il Eicci dà a questa varietà il nome di cilindro retto a tre dimensioni. Certa- 

 mente vi sono molte analogie tra essa e le superficie cilindriche a due dimensioni dello 

 spazio euclideo; ma v'è una diversità sostanziale: la varietà (.3) non è sviluppabile sullo 

 spazio piano. Tale denominazione quindi converrebbe forse meglio ad una varietà con 

 due curvature nulle e la terza costante. Cfr. anche Killing, Die nicht-euklidischen 

 Raumformen, § 12. — Comunque ciò che importa è questo: la varietà (3) non è appli- 

 cabile su alcuna delle varietà note. Ciò è sufficiente a stabilire l'interesse di queste 

 ricerche. 



(^) In questa formola e nelle successive considereremo come identici due indici che 

 differiscano per un multiplo di 3. 



