e alle equazioni differenziali 

 (B) 



dove è posto 



(5) 



lai . = 



— 359 — 



dcir+-\ s+i , r-<-2 dcir-t-\ s-t-s , r+2 



dcVs-^2 dtZfi-i-i 



y 



+ 



(6) 

 (7) 



^ ^ / (Mt , dOst^ dOrA 



\ f/.^s (^''«^t / 



dbr 



dxt 



y a'-^'i'' {art,p bsq + brcj) 



Le «'''**^ sono note col nome di simboli di Eiemann, le ars,t col nome 

 di simboli di Christoffel relativi alla forma q , e le brst sono le derivate 

 covarianti (') rispetto a cp degli elementi del sistema brs- Le (A) e (B) chia- 

 mansi e [nazioni fondamentali della varietà y , e costituiscono la genera- 

 lizzazione delle note equazioni di Gauss e di Mainardi-Codazzi. 



Come per una superficie a due dimensioni, la geometria di una varietà 

 a tre dimensioni è già perfettamente definita dall' espressione del suo ele- 

 mento lineare. Tutte le proprietà di essa che non si alterano còl deformarla, 

 dipendono soltanto dai coefiScienti di 9) , e reciprocamente ; la forma xp in- 

 terviene soltanto a determinare ciascuna delle configurazioni di cui la varietà 

 è suscettibile. Ora è da notare come le equazioni (A) definiscano i coeffi- 

 cienti di \\) in funzione delle e quindi dei coefficienti di ^ , in tutti 

 i casi nei quali il determinante \b\ è diverso da zero. Quindi: Una varietà 

 a tre dimensioni, per cui il discriminante della seconda forma fondamen- 

 tale sia diverso da sero, non ammette che un'unica configurazione. 



Un' interpretazione geometrica semplice e importante dell' annullarsi del 

 determinante |è| si ottiene considerando l'equazione 



bxx -\- Mfi!ii ^21 -]- «(221 1^31 + f'«31 

 -\- ««12 ^22 + ««22 ^32 + ««32 



bxz 4~ ^^^13 1^23 + «<5(23- 1^*33 + ««33 



= 0 



le cui radici «i , , ojg rappresentano le tre curvature principali della va- 

 rietà considerata. Sviluppandone il primo membro, la si ottiene sotto la 

 forma : 



+ 



3 



3 



4- w y ars «'"^ + ■ 



0, 



(1) V. Ricci, Résumé de quelques travaux sur les systèmes ecc. Bulletin de Sciences 

 math., giugno 1892. 



