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dalla quale si riconosce che i tre invarianti 



V 



b 



presi il primo ed il terzo con segno — e il secondo con segno -|- , rap- 

 presentano rispettivamente le quantità 



della varietà considerata. Perciò, se si tien anche conto che l' espressione 

 della curvatura di Gauss dipende soltanto dai coefficienti dell' elemento li- 

 neare, potrà dirsi che : 



Affinchè una varietà a tre dimensioni sia deformabile, deve avere 

 eguale a zero la curvatura totale. Verificata tale condizione, ogni sua 

 deformata sarà pure a curvatura totale nulla, e conserverà in ogni 'punto 

 per la curvatura di G-auss i valori che questa assume nei punti della 

 varietà data. 



Ma è noto che la condizione citata non è sufficiente. Della ricerca delle 

 ulteriori condizioni che, nel caso generale, devono ancora essere soddisfatte, 

 si occupa altro mio lavoro. Qui ci limiteremo ad esporre alcune considera- 

 zioni sulle varietà a curvatura costante nominate sopra. 



§ 3. Premettiamo alcune formolo che semplificheranno assai i calcoli 

 successivi. Si consideri 1' elemento lineare 



nel quale H indica una funzione di ^1,^2, ^3 finita e diversa da zero as- 

 sieme alle sue derivate prime e seconde. Proponiamoci di esprimere i sim- 

 boli di Christoftel e di Riemann relativi a tale elemento per mezzo di queste 

 derivate, nel modo più semplice. Eseguendo nei secondi membri delle (6) 

 le sostituzioni 



otteniamo immediatamente per i simboli di Christoffel le espressioni seguenti: 



«1 -f- «2 + «3 (curvatura media) 



co, c«)2 + «1 «3 -j- «2<*^b (curvatura di Gauss) 

 «i«2«3 (curvatura totale) 



ds^ = E^(da^' + d?f + ds') 



r ; a, 



= 0 , (r < s) , 



H 



dH 



da:,' 



dxs ' 



con r , s , t distinti. 



Partendoci dalle (5), osservando che 



1 



JJ2 ; 



