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« I nostri numeri infiniti e infinitesimi sono in fondo numeri complessi 

 « speciali con infinite unità, tali però che il prodotto di due di esse non si 

 « esprime linearmente mediante le altre, e perciò per questi numeri vale il 

 « teorema che se il prodotto di due di essi è nullo, deve esser tale anche 

 « uno dei fattori, come vale pei numeri complessi ordinari e pei quaternioni 

 « di Hajuilton ». 



Mais je préfère donner, moi-méme, une démonstration directe de V im- 

 20ossibilité de la multifUcation. 



Mr. Veronese a maintenu que les nombres cités dans mon article (') 

 n'appartiennent pas à son système. Getto assertion quan d'est-elle fondée? Elle 

 le serait seulement, si Mr. Veronese pouvait démontrer qu'on n'arrive jamais 

 aux quantités de mon article, quelcjues fois qu'on soimette les nombres 

 définis jìar lui aux opérations élémentaires de taddition et de la multi- 

 lÀication. Mais il n'est pas possible de donner une telle démonstration; au 

 contraire il est bien facile de voir qu'on n'a besoin que des combinaisons 

 très simples pour parvenir a raes quantités, en opérant avee les quantités 

 contenues dans les Fondamenti. Voilà que je n'ai pas cru nécessaire d'en 

 donner 1' explication autrefois. 



2. Pour bien faire comprendre mes raisonnements, je veux citer textuelle- 

 meut les théorèmes des Fondamenti dont il me faut m'occuper. 



C'est d'abord le théorème du § 12P qui contient la possibilité de la 

 multiplication : 



§ 12P e I numeri reali finiti infiniti e infinitesimi fino all' ordine /i com- 

 « presi tutti quelli i cui ordini sono ri aiti col numero ,(«, formano un gruppo 

 « che si trasforma in sè medesimo mediante le operazioni fondamentali appli- 

 « cate a due numeri qualunque del grappo i (pag. 201). 



La définition du nombre transfini se trouve à la pag. 107, je la fais 

 suivre comme voici. Eemarquons d'abord que Mr. Veronese a formé la sèrie 

 salvante des nombres finis ou infinis : 



0, 1, 2 ... ... coi — ;z , ... 00 1 — 1, GOi , oo^-j- 1, ...2 00^ — 1,2ooi,2odi-|-1, ... 



... ooi =t nt , ... ^1 Goj ri: «2 coj =t %<>, ... 



et plus généralement les unités 



2 m OD , 



oo oo 00 . ex 1 ' 



00 ' ... 001 ' ... 001 ' ... 001 ... ; 



et nous pouvons dire que ,a est un nombre quelconque formé avec les unités 

 nommées. (Voir page 101 et 107). C'est cette classe, qu'ilnommela classe (II), 

 et il en dit: 



(1) Voir § 3 de cette Note. 



