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Des passages des Fondamenti cités au-dessus, il s'ensuit immédiatemeut 



qne 



<"+~+-+^'+-+^+- + ^ 



est un iiombre transfìni, si les ai sont des nombres finis et les r et r des 

 norabres finis et entiers toujours croissant. Noiis multiplions ce nombre 

 par ooi°°i et nous trouTons d'après les lois dounées par M. Veronese 



«0 oo^x -\- «1 oof -1 -\- ■■■ -\- arOOi'^i-''' -| \- àr'^i' + h «'o ; 



enfin en faisant l'addition de ces deus: nombres mu$ aurons une \uantité, 

 qui ne permei pas la muUiplication par une quantité pareille, et dont j'ai 

 parie dans mon article. Voici les expositions de cet article qui s'y rattachent: 

 « Der Ausdruck 



Z an co" -|- - + a, co 4- ao + — H h 



« stellt dann und nur dann eine bestimmte transfinite Zahl ira Sinne Vero- 

 « nese's dar, wenn sich zu jedena gegebenen Index n oder r der zugehorige 

 « Coefficient a„ resp. a''" als gewòhnliche endliche positive oder negative 

 « Zahl bestimmt angeben làfst. Man sieht nun sofort, dafs Addition und 

 « Subtraction zweier bestimmter transflniter Zahlen stets ausfiihrbar sind, auch 

 " gelten die Gesetzc der Addition resp. Subtraction uugeàndert fort. Anders 

 « steht es jedoch mit der Multiplication, sobald die zu multiplicirendeu Zahlen 



A - an 00" H h «1 G« + f'o + ^ + - + ^ + - 



b' b^i'-^ 



B = ...b,„<x>-^^ ^ 00 + ^0 + h — + - 



' ' 00 ooy- 



« allgemein sind, d. h. nach beiden Seiten sich ins Unendliche erstrecken. 

 « An und ftìr sich ist es natiirlich gestattet, als Product von A und B eine 

 ^ Zahl 



c' c'-C' 



C =•••(?,. co'- -f- .. -}- co -[- Co + — H + 



' ' ' ' 00 ' ooP 



« so zu definiren, dafs man fiir jeden Coefficienten Cx ein Bildungsgesetz ge- 

 « màfs einer Punctionalgleichung 



« statuirt und dieses Bildungsgesetz nàher zu bestimmen sucht. Aber da dieses 

 « Gesetz doch fùr alle betrachteten transfiniten Zahlen das gleiche sein mufs, 

 « so mufs es auch gelten, wenu von den transfiniten Zahlen eine oder beide eine 



