— 367 — 



« endliche Zahl von Gliedern haben oder sich niir nach einer Seite ins Unend- 

 « liche erstrecken. Das Miiltiplicationsgesetz kann daher kein anderes sein, 

 « als das triviale, wonach die Einheiten sich wie Potenzen multipliciren und 

 " die Zahlen selbst wie ganze runctionen dieser Einheiten. In Wirkiichkeit 

 « ist dies auch das Gesetz, mit dem Veronese wie mit etwas selbstver- 

 K stàndlichem operirt (vgl. z. B. § 93). Wenn nun aber die beiden Zahlen A 

 « und B mit unendlich vielen Einheiten gebildet sind und sich iibeidies 

 « nach beiden Seiten ins Unendliche erstrecken, so stellen sich die Cr durch 

 « ein Aggregat von unendlich vielen Producten a^bi dar und kònnnen 

 « daher nicht in der genannten Weise angegeben werden. Die Multiplica- 

 «tion ist daher innerhalb des zu Grunde gelegten tìebiets 

 «nicht allgemein ausfiihrbar. 



4. Je crois bien qu'on connaìtra clairement que les passages précédents de 

 mon article cité sont tout à fait exactes; pour avoir les nombres les plus 

 simples, j'ai laissé de coté les puissances oo; — etc. D' ailleurs je re- 

 marque expressément que mes objections ne se sont jamais dirigées contre les 

 considérations aussi subtiles qu'importantes que Mr. Veronese a publiées sur 

 l'axiome d'Archimède. Ni mes objections ne touchent non plus les théo- 

 rèmes réimprimés dans la Note dernière de Mr. Veronese; il est clair que 

 ces théorèmes existent dans la méme forme pour la théorie ordinaire du nombre 

 irrationel. Mais voilà que ces théorèmes ne prouvent rien pour la questioii 

 si les nombres transfinis permettent la muUiplication ou si Mr. Veronese 

 en a donné une preuve. 



Dans le passage cité de mon article j'ai dit qu'il est bien permis d'in- 

 troduire le produit A B comme un nombre en définissant directement le 

 nombre C par 1' équation C = AB. Voilà le sens qu' il faut aussi attribuer 

 au passage cité en haut (^) où Mr. Veronese détìnit les nombres transfinis 

 comme des nombres complexes à unités infiuies. En eiTet, soit pour ^" 1,2 . . . 

 n 



k~ 2 uiei , 'Yi = ^ ^iei 



et posons 



C = AB = .2' §u Si en . 



Si maintenant nous supposons, qu'il soit toujours e^ eu — e^i . oò. e\ est 

 une unité nouvelle, il est clair que de l' équation C = 0 il s' ensuit A = 0 

 ou B = 0 . Mais il faut dire qu'un nombre C introduit comme voici, existe 

 en soi-méme seulement par raison de notre volonté ; au moins il n'est pas possible 

 de le comparer aux autres nombres et de le soumettre aux lois du calcul. 



5. Qu'il me soit permis, d'ajouter encore une remarque sur la démonstra- 

 tion du théorème § 12P, cité en haut. Dans les Fondamenti on en est 



(>) Voir § 1 de cette Note. 



