SYSTÈME INVARIABLE DONT UN POINT EST FIXE. 375 



Proposition I. 



Le déterminant D est toujours égal à zéro. 

 Proposition IL 



Les neuf mineurs du second degré de D sont tous égaux à 

 zéro , seulement dans le cas qu'on aAanzO A^zizO... 

 Ac"i=iO, — c'est-à-dire quand il n'y a pas de déplacement. 



Désignons par D/j . , . De' les mineurs de D, en sorte 

 qu'on a 



^ i 0 =12: AaDô=:^ AbDc=:2; AcDa. 



La valeur de Da est A ô' A c" — A b" A c' , mais l'équation (1) 

 donne : 



A a = 6' A c"— y A c'-\-c" A b'—c' A b" + Ab' Ac" — Ab" Ac , donc : 



{ Da =Aa —b'A c"+b"A c'-~c"A b'-\-c'A h" 3 , de même : 



(9) .. i)/zi:A«'— 6" Ac+ ÔAc"— cA6" + c"AÔ 3, 



( Da'>^Aa"—b Ac' -\-b' Ac —c'A b +c Ab' 3. 



On en déduit , en multipliant par A « , A a' , A a" et faisant 

 l'addition : 



(10) D = Aa^ — Db~2: cDc 3. 



Mais en multipliant les équations (9) par a, a\ a" on trouvera 

 par l'addition, en vertu des relations (1): 



i: a Da^ 2: a Aa — 2: b Ab — 2: c Ac ^ 



ou bien, à cause de (2) : 



— ^ A + 5- 2; A 6=^ + ^- ^ A c^; de même : 

 ^ i 2 A — { Z A b'- 4- A 

 -j- {2: Aa'- + i 2 Ab'' — i 2 A c^. 



(11) .^ZbDb — 

 {2:cDcz= 



En substituant ces valeurs de 2 b Db ^ 2 c De dans l'équation 



