SYSTÈME INVARIABLE DONT UN POINT EST FIXE. 383 



A a= y , A 6' == — i , Ac'= — 1 , 

 A a'= — i , A lf= 1 , A c ' = 0 , 



on trouvera /? = l,p=l, q — r = 0. 



Il en est tout autrement dans le 



Second cas :R = 0,p = 0,q = 0,r = 0. 



En effe , les équations (26) montrent que la condition i? = 0 

 entraîne d^éjà ces trois autres : p = 0 , 9. — ^ -> r = 0. Ce second 

 cas est donc caractérisé par la condition unique i? = 0, qui ne 

 peut pas déterminer le déplacement, qu'on peut au contraire 

 assujettir encore à deux autres conditions. 



Pour reconnaître la signification de cette condition i? = 0 , il 

 faut se reporter aux équations (4) et (5) , qui donnent : 



x-\- \ Ax={a H- I A a)x^ +(6 -i-^^ A 6 ) ^, -h (c -{-| A c )z^^ 

 y-h^Ay =z{a' + | A a' ) y , +(// +iAb')y^ -f- (c -[-i- A C') 

 z + i A z i A a") +{b" -t-i A^) y' -h \ A c") 0, . 



On voit par là que = 0 est la condition nécessaire et suffisante 

 pour qu'il soit possible de satisfaire aux conditions : 



X -\- \ AxzizO ^ 

 0 + I A ^ = 0 , 



par des valeurs de x^^ , qui ne sont pas toutes nulles. 

 Pour tous les points d'une certaine droite passant par l'origine 

 on a alors x-{- Ax-=. — x^ y -\~ A y zzz — y ^ z-\- Az-= — 0, 

 c'est-à-dire, après le déplacement cette droite se retrouve dans 

 sa première position, avec superposition des deux moitiés diffé- 

 rentes. Or une considération géométrique bien simple montre que 

 le déplacement consiste alors dans une rotation de 180° autour 

 d'un certain axe , et que toutes les droites passant par l'origine 

 Archives Néerlandaises, T. XIX. 25 



