384 M. T. J. STIELTJES. NOTE SUR LE DÉPLACEMENT d'uN 



et situées dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation jouissent 

 de la propriété énoncée. Ainsi , lorsque i? r=z 0 , les trois plans : 



[a + { A a) -\- [b -h i A b) y, -{- (c H- | A c) ^, r= 0 , 

 {w + I Aa) x^ H- {U + 1 Ab')y^ + (c' 4- | A d)z^ =0, 

 {a''+ \Aa')x, H- [b" ^ + {c"-h i Ac")z^ =:0, 



passent non seulement par une même droite , mais ces trois plans 

 coïncident avec un plan mené par l'origine perpendiculairement 

 à l'axe de rotation. Autrement , et dans le langage de l'algèbre , 

 nous pouvons énoncer cette : 



Proposition III. Lorsque le déterminant R est égal à zéro , ces 

 neuf mineurs Ra , Rb . . > Rc" s'évanouissent en même temps. 



En effet , la supposition R = 0 donne ^9 = 0, qz=zO, rznO, 

 et dès lors les équations (32) mettent en évidence notre propo- 

 sition. Cette démonstration, on le voit, ne dépend nullement de 

 la réalité des quantités a, b., , Aa, A6..., comme la consi- 

 dération géométrique qui nous a conduit d'abord à cette proposition. 

 Dans le cas actuel, la relation (21) donne encore : Da^4: («H- l Aa) 

 etc., en sorte que l'équation (13) de l'axe de rotation peut s'écrire : 



a -h \ A a: b -\- { Ab : c H-|Ac 

 a + I A a' : 6' H- ^ A b' : & -h J- A c' 

 a" H- L A a'': b"-h i A b": c''+ | A c", 



ce qui est bien conforme à ce que nous venons de dire. 



Il n'y a pas lieu de s'occuper du sens de la rotation , parce 



qu'une rotation de 180° dans l'un ou l'autre sens produit le 

 même effet. 



7. Après avoir traité complètement le cas p=:0, 2=0, r-=zO 

 nous en ferons abstraction dans la suite, et par conséquent l'axe 

 de rotation sera déterminé par l'équation (18). Il nous reste à 

 déterminer l'amplitude et le sens de la rotation qui permet de 

 passer de la première position du système invariable à la seconde 

 position. 



